Добавил:

Engels Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

Дополнительные главы математики

Файл:

Лекция 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2025

Размер:

209.34 Кб

Скачать

☆

Лекция 8

3.4. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка описываются уравнениями второго по-

рядка относительно переменных x, y, z. К поверхностям обращаются при

изучении физики, механики, деталей машин, в системах автоматизированно-

го проектирования.

Среди поверхностей второго порядка выделим цилиндрические по-

верхности.

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверх-

ность, состоящая из параллельных прямых (образующих), пересекающих не-

которую линию (направляющую).

Рассмотрим цилиндрическую поверхность, у которой образующие па-

раллельны оси OZ , а направляющая l		лежит в плоскости		XOY и имеет
уравнение F (x, y) 0	(рис. 64). Рассмотрим произвольную точку P(x, y, z)
на поверхности. Ее проекция P0 (x, y,0)		на плос-		z
кость XOY лежит на кривой l . Поэтому координа-				z
кость XOY лежит на кривой l . Поэтому координа-
ты точки P0 удовлетворяют уравнению кривой					P(	x, y, z)
ты точки P0 удовлетворяют уравнению кривой					P(	x, y, z)
		0					y
F (x, y) 0 . Этому же уравнению удовлетворяют и							y
F (x, y) 0 . Этому же уравнению удовлетворяют и
координаты точки P ,		x	l
					P0(x, y,0)

	так как в уравнении не со-
держится z .				Рис. 64

Справедливо и обратное: уравнение F (x, y) 0 определяет цилиндри-

ческую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , и направляю-

щей, которая в плоскости XOY имеет уравнение F (x, y) 0 .

Аналогично, если в уравнении отсутствует y (или x ), то оно опреде-

ляет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OY

(или OX ).

Пример 3.11. Построить поверхность с уравнением	z y 2 .
Решение. В уравнении отсутствует x , зна-	z
чит, уравнение определяет цилиндрическую по-
верхность с образующими параллельными оси
OX . Направляющая в плоскости YOZ имеет урав-	y
нение z y 2 , т.е. является параболой с вершиной в x	0
нение z y 2 , т.е. является параболой с вершиной в x
начале координат и осью симметрии Oz (рис. 65).	Рис. 65

Пример 3.12. Построить поверхность					x2
					a 2

Решение.		В	уравнении отсутствует		y ,
значит, уравнение определяет цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными
оси OY . Направляющая в плоскости XOZ име-
ет уравнение		x2	z 2	1, то есть является эл-
	a 2		b2

z 2 1. b2

Рис. 66

липсом (рис. 66).

Следующие поверхности также являются цилиндрическими:

а) z 2 y 2 4 ; б)		y x2 ; в)		z 2 x2 1. Их построение разберите са-
мостоятельно (рис.67):
a)	z	б)	z		в)	z
a)	z	б)				z
	2
	y
	y					O
	2					O
	2		O				y
			O		y	1
			x	Рис.67	y
x			x	Рис.67	x
x					x

Кроме цилиндрических поверхностей есть и другие поверхности вто-

рого порядка. Их уравнения содержат все три переменные x, y, z.

Наиболее важные из них:

эллипсоид

y 2

z 2

1 ;

a 2

коническая поверхность

z 2

;

a 2

параболоид

y 2

;

a 2

однополостный гиперболоид

y 2

1 ;

a 2

двуполостный гиперболоид

y 2

1 .

a 2

Построение этих поверхностей по их уравнениям основано на методе сечений, т.е. на построении сечений данной поверхности координатными плоскостями или параллельными им плоскостями. Поясним метод сечений на

примерах.

Пример 3.13. Построить поверхность, определяемую уравнением

z2 x2 y2 .	z
Решение. Так как уравнение поверхности со-	h
Решение. Так как уравнение поверхности со-
держит все три переменные, то построим поверх-		y
ность методом сечений. При x 0 (сечение плоско-	O	y
ность методом сечений. При x 0 (сечение плоско-	x
	x
стью YOZ ) исходное уравнение примет вид: z 2 y 2	h
или z y . Эти уравнения определяют пару прямых	Рис. 68

в плоскости YOZ (рис. 68). При z 0 (сечение плоскостью XOY ) исходное уравнение примет вид: x2 y 2 0. Оно определяет единственную точку

O(0,0) . Поэтому рассмотрим дополнительные сечения плоскостями z h.

Эти сечения имеют уравнения x2 y 2 h2 , т.е. являются окружностями в

плоскостях z h и z h. В итоге получим конус (рис.68). 3

Пример 3.14. Построить поверхность, определяемую уравнением

x2 y 2 z 2 1.

Решение. Уравнение поверхности содержит все три переменные, по-

этому применим метод сечений. Сечение по-

верхности

плоскостью x 0

(плоскостью

YOZ ) имеет уравнение y 2 z 2 1.

Это урав-

нение определяет гиперболу в плоскости YOZ .

Для определения вершин гиперболы положим

y 0 и получим z 1 (рис. 69). Сечение по-

верхности плоскостью

z 0

имеет уравнение

Рис. 69

x2 y 2 1,

которому

не

удовлетворяет ни

одна пара чисел (x, y),

так как всегда x2 y 2 0 .

Поэтому берем дополни-

тельные сечения z 2

и получаем уравнение

x2 y 2 3,

которое опреде-

ляет окружности в плоскостях z 2

и z 2 . Полученная поверхность на-

зывается двуполостным гиперболоидом.

Построение методом сечений следующих поверхностей разберите са-

мостоятельно (рис.70,71): а)

y 2

z 2

1 ;

б) z x2

y 2 ;

a 2

в) x2 y 2 z 2 1.

	b	y
	b
	a	x
x		x
x		Рис. 70
		Рис. 70

Рис. 71

Соседние файлы в предмете Дополнительные главы математики

#
13.07.2025260.93 Кб0Лекция 3.pdf
#
13.07.2025238.69 Кб0Лекция 4.pdf
#
13.07.2025208.9 Кб0Лекция 5.pdf
#
13.07.2025212.51 Кб0Лекция 6.pdf
#
13.07.2025283.76 Кб0Лекция 7.pdf
#
13.07.2025209.34 Кб0Лекция 8.pdf
#
13.07.2025264.7 Кб0Лекция 9.pdf
#
13.07.2025559.25 Кб0Практика 1..pdf
#
13.07.2025616.04 Кб0Практика 10..pdf
#
13.07.2025477.85 Кб0Практика 11..pdf
#
13.07.2025441.22 Кб0Практика 12..pdf