Практика 7

p

q

r

l (p,q,r) и плоскостью

Ax By Cz D 0 с нормальным вектором

N (A,B,C):

sin

N l

Ap Bq Cr

.

N

l

A2 B2 C2 p2 q2 r2

N l , или

A

B

C

r

p q

Пример 1.

При каких значениях и

прямая

x 1

y 1

z 3

перпендику-

4

2

лярна к плоскости 3x 2y z 2 0?

Решение.

Прямая

перпендикулярна

к

плоскости, если ее направляющий

вектор

l коллинеарен

нормальному

вектору

плоскости N

(рис.21):

N l ,

или в координатах:

4

2

,

откуда

2

3

6, 1.

Рис.21

Решение.

Составим

канонические

уравнения прямой

AB , проеци-

рующей точку A на заданную

плоскость (т.е прямой, проходящей

Рис. 22

A 1;1;1 параллельно вектору

N 1;1; 2 ,

поэтому

ее

уравнение

имеет

вид:

x 1

y 1

z 1

. Определим координаты точки

A

пересечения пря-

1

1

2

0

мой и плоскости (проекции точки A на заданную плоскость), решая совмест-

x 1

y

0

1

z

0

1

но

уравнения

прямой и

плоскости:

0

,

откуда

1

1

2

x y

0

2z

0

6 0,

0

A

2;2; 1 .

A

─ середина

отрезка

AB,

следовательно,

x

xA xB

,

0

0

0

2

y

0

yA yB

,

z

0

zA zB

,

т.е. 2

1 xB

,2

1 yB

, 1

1 zB

,

откуда

2

2

2

2

2

жение прямой

x x0

y y0

z z0

p

q

r

ют общих точек, в том числе M0 x0;y0;z0

не принадлежит плоскости, и

Ap Bq Cr 0,

l N . В координатной форме Ax By

0

Cz

0

D 0.

0

направляющий вектор

l 1;2;3 .

Нормальный

вектор

плоскости

N 1;1;2 .

Так

как

1

2

3

что векторы M0M , N и l компланарны:

x 1

y 1

z 0

ловии,

1

1

2

0,

1

2

3

откуда уравнение искомой плоскости x y z 0.

Пример 5.

Определить углы, которые образует прямая

x y z 1 0,

с ко-

3x 3y 2z 2 0

Решение.

Определим

направляющий вектор

прямой (см. 2.2, пример 1):

i

j

k

(здесь N1

и N2 –нормальные векторы плос-

l N1 N2

1

1

1

i j

3

3

2

sin

1

0 ( 1) 0 0

1

0, sin

2

1

0 ( 1) 1 0

0

2

,

1

12 ( 1)2 02 1

12 ( 1)2 02 1

2

1 1 ( 1) 0 0 0

2

sin

cos l, i

, откуда 0,

2

,

3

.

3

12 ( 1)2 02 1

2

1

4

4

Т.к.

2 0, 3

0,

то

прямая

пересекает плоскости Oxz,

Oyz. Т.к. 1 0,

то прямая параллельна плоскости Oxy или

лежит в этой плоскости.

Найдем

координаты какой-либо точки M0 x0;y0;z0

данной

прямой,

например,

точки

пересечения с

плоскостью Oxz.

Тогда

y0 0 и

x0

z0 1,

откуда

x0 0,

Рис. 27

2,

3x0 2z0

1).

x y z 2 0,

Определить угол между прямой

и плоскостью, про-

2x y z 2 0

ходящей через точки A 2;3; 1 , B 1;1;0 и C 0; 2;1 .

1

Ответ: arcsin

.

2

7

2).

Написать уравнения проекций прямой

x 2y 3z 1 0,

на коорди-

x y z 2 0

натные плоскости.

4x y 5 0, 3x z 3 0, 3y 4z 3 0,

Ответ:

z 0;

y 0;

x 0.

3).

Найти точку

B,

симметричную точке

A 1;1;1

относительно прямой

x 1

y

z 1

.

2

3 1

9

4

22

Ответ: B

;

;

.

7

7

7

x 1

y 1

z 2

параллельно прямой

x

y 2

z 3

.

2

1

3

1

2

3

Ответ: x y z 4 0.

5).

Определить, при каком значении плоскость

5x 3y z 1 0 будет