Лекция 7

расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами,

постоянна и больше расстояния между фокусами.

y

Выведем уравнение эллипса.

M

Пусть F1 и F 2

− фокусы эллипса. Расстояние ме-

x

F1

F2

жду ними обозначим через 2c , а постоянную сумму рас-

стояний от любой точки М эллипса до фокусов обозна-

Рис. 49

чим через 2a . По определению эллипса,

MF1

MF2

2a и 2a 2c, т.е. a c.

Выберем систему координат так,

чтобы ось OX проходила через фокусы, а

ось OY

–

посередине между ними

(рис. 49). Тогда координаты

фокусов

F1 c, 0 ,

F2 ( c, 0). Если M (x, y) − произвольная точка эллипса, то

x c 2

y 2 ,

MF

MF

(x c)2 y 2

1

2

и сумма этих расстояний постоянна и равна 2a , т.е.

(x c)2 y 2

(x c)2 y 2 2a.

2 2a

2 ,

(x c)2 y 2

(x c)2 y 2

x2 2x c c2 y 2 4 a 2 4 a

x 2 2x c c2 y 2.

(x c)2 y 2

После упрощения получим

a

(x c)2

y 2 a 2 c x.

Еще раз возведем в квадрат обе части уравнения и сгруппируем подобные

члены:

(a 2 c2 ) x2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 ).

Так как a c , то разность a 2 c2

положительна; обозначим ее b2 и разде-

лим обе части полученного равенства на a 2 b2

. В результате получим:

x2

y

2

1.

(3.14)

a 2

b

2

Это уравнение называется

каноническим уравнением эллипса. Здесь

b 2 a 2

c2.

В частном случае

при b a уравнение (3.14) примет вид:

x2 y 2

a 2 ,

т.е. определяет окружность радиуса a с центром в начале коорди-

b

вой четверти, где x 0, y 0. Из уравнения (3.14)

получим y

a 2 x2 . Эта

a

функция определена при x a, равна нулю при

x a, равна

b при x 0 и

y

B1(0,b)

y

F2

x

b

A2 ( a,0)

F1

F1

A1(a,0)

x

0 c

a

B2 (0, b)

Рис.50

Рис. 51

Тогда 2(x 1)2 2 3( y 3)2

27 17 0 или

2(x 1)2

3( y 3)2 12.

Разделим уравнение на 12

y

1

0

x

(x 1)

2

( y 3)

2

1.

6

4

F2

3

M 0

F

Получили уравнение

вида

(3.15),

причем

1

x0 1, y0 3,

a 2 6,

b2 4.

Это уравнение опре-

Рис. 53

деляет эллипс с центром M 0 (1, 3), осями симмет-

рии, параллельными осям координат и полуосями a

b 2 (рис. 53).

6,

Найдем

еще межфокусное

расстояние

F1F 2

.

Так как

a 2 c2 b2 , то

c2 a 2 b2

6 4 2.

Таким

образом,

c

межфокусное расстояние

2, а

F1F 2 2c 2

2.

Гипербола и ее уравнение

Пусть

F1 и

F 2

− фокусы гиперболы и межфокусное расстояние

F1F2

2c. Обозначим постоянную разность расстояний от любой точки M (x, y)

гиперболы до фокусов через 2a . По определению гипер-

болы,

MF1

MF2

2a и 2a 2c.

M

M

В правой части равенства выберем знак "+", если

MF

1

MF

, и знак

"–", если

MF

1

MF

(рис. 54).

F2 0

F1

2

2

Рис. 54

Выберем прямоугольную систему координат так

же,

как

и

в

случае

вывода

уравнения

эллипса.

Тогда

MF

1

(x c)2 y

2 ,

MF

(x c)2 y 2 .

2

(c2 a 2 ) x2 a 2 y 2 a 2 (c2 a 2 ).

Так как c a, то разность c2

a 2

− положительна; обозначим ее b2

и раз-

делим полученное уравнение на a 2 b2 .

Получим

x2

y

2

1

.

(3.16)

a 2

b2

Это уравнение называют каноническим уравнением гиперболы.

Здесь

b2 c2 a 2.

b

в первой четверти, где x 0,

y 0.

Из уравнения (3.16) получим

y

x2

a 2 .

a

Эта функция определена при x a,

равна нулю при x a и возрастает с ростом

x. При неограниченном возрастании

x число a 2

мало по сравнению с

x2 и

b

функция

y

x

2

a

2

будет

близка

к

функции

y

a

b

b

b

y

x2

x, т.е. гипербола будет приближаться к прямой

0

a

x

a

a

y

b

x.

Учитывая

проведенное исследование,

построим ги-

Рис. 55

a

Прямые y

b

x

и y

b

x, к которым приближа-

a

a

y

ется гипербола с ростом x , называются асимптотами

гиперболы. Точки A1

a,0 , A2 ( a,0) называются вер-

F

A

A

F

b

шинами гиперболы.

2

2

0 a

1

1 x

Для построения гиперболы удобно сначала по-

Рис. 56

строить прямоугольник с центром в начале координат и

y

2

x

2

F1

y

перболу с уравнением

1. При x 0 получаем

B1

b2

a 2

y b ,

т.е. эта

гипербола

имеет

вершины

0

b a

x

B1(0,b) и B2 (0, b) (рис. 57).

B2

F

2

Если

центр

гиперболы

находится

в точке

Рис. 57

(x x )2

( y y )2

,

(3.17)

0

0

1

a2

b2

а уравнение ее асимптот ( y y0 )

b

(x x0 ) .

a

1

Решение. Запишем уравнение линии в виде x 2

y 2 2 y 5.

2

Отсюда видно, что x 2 0

или

x 2.

Возведем обе части равенства в

квадрат: x 2 2

1

y 2 2 y 1 4

или

y

4

4 x 2 2 ( y 1)2 4.

M 0

1

x 2 2

2

Разделим уравнение на 4:

( y 1)

1.

0

x

1

4

Получили уравнение вида (3.17), где

Рис. 58

x0 2,

y0 1, a 1, b 2.

Это уравнение определяет гиперболу с центром M 0 ( 2, 1),

осями симмет-

p

F 0,

. Пусть M (x, y)

− произвольная точка параболы.

y

2

M ( x, y)

По определению параболы,

F

x

0

2

p

2

p

B

MF MB , т.е.

x

y

y

.

C

2

2

Рис. 59

Возведя в квадрат обе части равенства и упростив,

получим уравнение

x2 2 py .

(3.18)

Полученное уравнение называют каноническим уравнением параболы.

симметрии, параллельной оси OX . Первоначальному уравнению соответствует

только часть параболы, а именно – те ее точки, для кото-

y

рых

y 3

(рис. 62). Для отыскания фокуса вспомним,

что расстояние от фокуса до директрисы

p 2,

а от фо-

F

M 0

3

куса до вершины

p

1.

Так как вершина M 0 (2,3) , то

0

2

x

2

Рис. 62

фокус F (1,3).

Пример 3.10. Записать уравнение параболы, если ее фокус F ( 2,3),

а урав-

нение директрисы y 1.

Решение. Построим фокус и директрису параболы. Ось симметрии парабо-

лы проходит через фокус F перпендикулярно директрисе BC (рис.63), а вершина

A лежит на оси симметрии посередине между фокусом и директрисой. Следова-

yF yB

3 1

C

тельно,

xA xF 2,

y A

1.

y

2

2

F

Так как ось симметрии параболы параллельна оси

3

Oy ,

то

уравнение

параболы

имеет

вид:

A

x

(x xA )2

2 p ( y y A ).

Ветви параболы направлены в

2

0

B

1

положительную сторону оси OY , поэтому выбираем в ее

Рис. 63

уравнении знак

«+». Параметр p равен расстоянию между фокусом и директри-

сой, т.е. p 3

( 1) 4.

Окончательно уравнение параболы примет вид:

(x 2)2 8( y 1).