Практика 6

Ax B y C z D 0,

Общие уравнения: 1

1

1

1

A2x B2y C2z D2 0.

Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, где коэффици-

енты A1,B1,C1 не пропорциональны A2,B2,C2 .

x x0 pt,

qt,

где

M

x ;y

;z

– заданная

Параметрические уравнения: y y

0

0

0

0

0

z z0 rt,

точка прямой,

l p;q;r

– направляющий вектор прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку

M0 x0;y0;z0

параллельно вектору l p;q;r :

x x0

y y0

z z0

.

q

p

r

Уравнение прямой,

проходящей через две заданные точки M1 x1;y1;z1

и

M

x ;y

;z

:

x x1

y y1

z z1

.

x x

2

2 2

2

y

2

y

z

2

z

2

1

1

1

Угол между прямыми с направляющими векторами l1

p1,q1,r1

и

l2 p2,q2,r2 :

l1 l2

.

cos cos l ,l

1

2

l1

l2

Условие параллельности прямых:

l

l

, или

p1

q1

r1

.

1

2

p2

q2

r2

l1 l2 , или

l1 l2

p1 p2 q1q2 r1r2 0.

Расстояние от точки M

1

x ,y ,z

до прямой

x x0

y y0

z z0

:

1

1

1

p

q

r

M

0

M

1

, l

d

.

l

Пример 1.

2x y 3z 1 0,

Привести уравнения прямой к каноническому виду:

5x 4y z 7 0.

Решение.

1 способ. Нормальные

векторы

плоскостей

2x y 3z 1 0 и

i

j

k

l N1 N2

2

1

3

11i 17j 13k .

5

4

1

В качестве точки M0 x0,y0,z0 , через ко-

торую проходит искомая прямая, можно взять,

например,

точку её пересечения с координат-

Рис.18

ной плоскостью Оху:

z0 0,

2x

y

1 0,

0

0

откуда x0 11/13, y0 9/13,

5x0 4y0 7 0,

M0 11/13,9/13,0 .

Зная

точку

M0

и

направляющий

вектор

l , запишем канонические

x 11/13

y 9/13

z 0

уравнения прямой:

.

11

17

13

13x 11z 11 0,

Разрешим каждое

уравнение относительно z:

систему

13y 17z 9 0.

13

x 11/13

13 y 9/13

x 11/13

y 9/13

z

z

, или

.

11

17

11

17

13

Пример 2.

Определить, при каком усло-

вии прямые

x x1

y y1

z z1

и

p

q

1

r

1

1

x x2

y y2

z z2

компланар-

p

q

2

r

2

2

ны, т.е. лежат в одной плоскости.

Рис. 19

Решение.

Данные прямые находятся в одной плоскости только при условии, что

векторы M1M2 x2 x1,y2 y1,z2

z1 , l1 p1;q1;r1

и l2 p2;q2;r2

ком-

планарны,

т.е. смешанное

произведение

этих векторов равно

нулю:

M1M2, l1, l2 0 , или

x2 x1

y2 y1

z2 z1

p1

q1

r1

0 .

p2

q2

r2

Пример 3.

В уравнениях прямой

x

y

z

определить параметр а так, чтобы эта

3

a

2

Решение.

Направляющие векторы прямых l1 2, 3, a

и l2 3,2,1 не являют-

ся коллинеарными, так как

2

3

. Следовательно, эти прямые не будут па-

3

2

1 0

5 0

0 0

2

3

а

0, откуда а 1.

3

2

1

Координаты точки

M0 x0,y0,z0

пересечения прямых есть решение

x

y

z

0

0

0

,

2

3

1

системы, составленной из уравнений этих прямых:

y

z

x

1

5

0

0

0

,

3

2

1

Из первого равенства выразим x0 2z0, y0 3z0

и подставим во вто-

рое, в результате получим x0 2, y0

3, z0 1, или M0 2, 3,1 .

1 0

1 1

2 2

плоскости (см. пример 2):

2

0

1

12 0.

1

2

1

cos

2 1 0 2 1 1

3

,

2 2 02 12 12 22 1 2

30

откуда arccos

3

570.

30

пендикулярной векторам N1 2i 3j k и N2

3i j 2k.

Ответ:

x 1

y 1

z 1

.

1

5

7

2). Вычислить

углы,

образованные с

осями координат прямой

Ответ:

x 1

y 2

z 3

.

2

1

1

4).

Даны

три

последовательные вершины параллелограмма

ABCD:

A 3;0; 1 ,

B 1;2; 4 и C 0;7; 2 . Найти уравнения сторон AD и СD.

Ответ:

x 3

y

z 1

;

x

y 7

z 2

.

1

5

2

2 2

3

5).

Вычислить расстояние между параллельными прямыми

x

y 3

z 2

1

2

1

и

x 3

y 1

z 2

.

1

2

1

Ответ:

5

.

30

6

6).

4x y z 12 0,

3x 2y 16 0,

Найти угол между прямыми

и

y z 2 0.

3x z 0.