Лекция 6

3.2. Прямая на плоскости и в пространстве

Канонические и параметрические уравнения прямой

Пусть известна точка

M 0 (x0 , y0 , z0 ) , лежащая на прямой (рис. 40), и вектор

l {m, n, p},

параллельный прямой (он называется направляю-

щим вектором прямой). Точка M (x, y, z) принадлежит прямой

l

M

тогда

и

только

тогда,

когда

векторы

M 0

M 0M {x x0 , y y0 , z z0} и l {m, n, p} коллинеарны, а зна-

Рис. 40

чит их координаты пропорциональны:

x x0

y y0

z z 0

.

(3.4)

m

n

p

x x0 mt,

y y0 nt,

z z0 pt .

(3.5)

На плоскости

XOY уравнения прямой будут иметь вид

x x0

y y0

или

x x0

mt,

y y0 nt .

(3.6)

n

m

Пример

3.4.

Найти

угол

между

пересекающимися

прямыми

x 1

y 2

z 5

и

x 3t 7,

y 2t 2,

z 2t 1. Записать уравнение плоско-

2

3

4

l 1 l 2

2 3 3 2 4 2

8

8

cos

;

l 1

l 2

4 9 16

9 4 4

17 29

493

(рис. 41), тогда и только тогда, когда векторы M1M ,

l 1,

l 2

M

l1

− компланарны, а значит их смешанное произведение равно

M1

l2

нулю:

M 2

x 1

y 2

z 5

Рис. 41

(M1M , l 1, l 2 )

2

3

4

0 .

3

2

2

Раскрывая

определитель,

получим

уравнение

искомой

плоскости

(x 1) 2 ( y 2) ( 16) (z 5) 13 0 или

2x 16 y 13z 31 0 .

Пример 3.5. Найти точку Q , симметричную точке

P(2, 5,7)

относительно

прямой

x 5

y 4

z 6

.

1

3

2

Решение.

Проведем через точку P(2, 5,7) плоскость, перпендикулярную за-

данной

прямой

l

(рис. 42).

Направляющий

вектор

прямой

l {1,3, 2}

одновременно

является нормаль-

P

ным вектором плоскости, поэтому ее уравнение (3.1)

P0

l

l

примет вид

Q

1 (x 2) 3 ( y 5) 2 (z 7) 0.

Рис.42

x t 5, y

3t 4,

z 2t 6.

(3.7)

Найдем точку пересечения P0

прямой и плоскости, подставив x, y, z

из урав-

3

x 2

,

2

y 5

,

2

z

7

. Следовательно, искомая точка Q имеет координа-

2

2

2

ты x 4,

y 1,

z 3.

A x B y C z D 0,

(3.8)

1

1

1

1

A2 x B2 y C2 z D2 0.

Система уравнений (3.8) называется общими уравнениями

прямой в про-

странстве.

Пример 3.6. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими

уравнениями:

3x 2 y 2z 3 0,

2x 3y z 4 0.

Решение. Найдем точку M 0 (x0 , y0 , z0 )

на прямой. В системе, определяющей

прямую, два уравнения и три неизвестных.

Поэтому одно

неизвестное выберем произвольно, например, z 1, подста-

N 2

N1

w2

вим в систему и найдем два других неизвестных: x 1,

y 1.

l

Таким образом,

на прямой найдена точка M 0 (1, 1, 1).

Плос-

w1

кости, задающие прямую, имеют нормальные векторы

Рис.43

N 1 {3, 2, 2}

и

N 2 {2, 3, 1}. Направляющий вектор прямой l перпендикулярен

i

j

k

l N1 N2

3

2

2

4i 7 j 13k .

2

3

1

Тогда канонические уравнения прямой (3.4) примут вид:

x 1

y 1

z 1

.

4

7

13

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и ее проекцией

на плоскость (рис. 44). Рассмотрим дополнительный угол

N

.

Тогда

l

2

N l

sin cos cos (N , l )

.

Рис. 44

N

l

Здесь N − нормальный вектор плоскости,

l − направляющий вектор прямой.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Требуется найти расстояние d от точки M1 до прямой l

(рис. 45). Пусть M 0

−

известная точка на прямой,

l − направляющий вектор прямой. Рассмотрим парал-

лелограмм, построенный на векторах M 0M1

и l . С одной

M1

d

стороны,

площадь параллелограмма

S d

l

. С

другой

l

стороны,

S

.

Поэтому расстояния d от точки

M

l

M 0M1 l

0

Рис. 45

M1 до прямой l , проходящей через точку M 0 , вычисляется

по формуле

d

M 0M1

l

.

(3.9)

l

(рис. 46). Тогда направляющий вектор

l единичной длины име-

y

ет координаты

m cos ,

n sin .

Поэтому каноническое

x x0

y y0

l

уравнение

прямой

(3.6)

примет

вид

или

x

0

cos

sin

( y y0 ) tg (x x0 ) . Число k tg есть угловой коэффициент

Рис. 46

прямой; уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом имеет вид:

( y y0 ) k(x x0 ) .

(3.10)

Если на плоскости

XOY

заданы две прямые с из-

y

вестными

угловыми

коэффициентами

k tg

1

и

l2

l1

1

k2 tg 2

(рис. 47),

то можно найти угол между этими

2

прямыми:

0

1

x

tg tg( 2 1)

tg

2 tg 1

или

Рис. 47

1 tg 1 tg 2

tg

k2 k1

.

(3.11)

1 k

k

2

1

Параллельность прямых

l 1 , l 2

равносильна равенству углов наклона 1 , 2

и, следовательно, равенству угловых коэффициентов k 1 , k2 :

l 1 || l2 k1

k2 .

(3.12)

Для перпендикулярных прямых l 1 и l 2

(рис.48) имеем 2 1

,

2

k

1

1

.

y

2

tg

2

tg

1

ctg

1

tg

k

2

1

l

1

l2

1

Таким образом,

2

1

1

l 1 l 2

k2

.

(3.13)

0

x

k 1