Практика 5

Практика 5

ПЛОСКОСТЬ

Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz может

быть задана уравнением одного из следующих видов:

Ax By Cz D 0 – общее уравнение плоскости;

A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 – уравнение плоскости, проходящей че-

рез точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N (A,B,C);

x y z 1 ─ уравнение плоскости в отрезках; a b c

Угол между плоскостями A1x B1y C1z D1 0 и

A2x B2y C2z D2 0 с нормальными векторами N1,N2 :

Условие параллельности плоскостей:

N1 N2, или A1 B1 C1 .

A2 B2 C2

Условие перпендикулярности плоскостей:

N1 N2 0, или A1A2 B1B2 C1C2 0.

Расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости Ax By Cz D 0 :

d Ax0 By0 Cz0 D .

A2 B2 C 2

Пример 1.

Получить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1,y1,z1),

M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).

1

Решение.

Точка M(x,y,z) принадлежит плоскости тогдаитолькотогда,когдавекторы

Это и есть искомое уравнение.

Замечание. Полученное уравнение однозначно определяет плоскость при условии, что точки M1, M2, M3 не лежат на одной прямой, то есть

M1M2 M1M3 .

Пример 2.

Найти уравнение плоскости, про-

ходящей через точку M1 2;3; 1 парал-

лельно плоскости 5x 3y 2z 10 0.

кости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному век-

тору N :

5 x 2 3 y 3 2 z 1 0, или 5x 3y 2z 1 0.

2

Пример 3.

Из точки P 2;3;5 на координатные оси опущены перпендикуляры.

Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение.

Основания перпендикуляров,

опущенных на координатные оси, – точки

P1 2;0;0 , P2 0;3;0 , P3 0;0;5 .

Используем уравнение плоскости,

проходящей через три точки:

коллинеарны, следовательно, плоскости пересекаются (рис.16). Дополни-

тельно определим угол между плоскостями:

3

куляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Ответ: 3x 6y 2z 12 0.

5). Исследовать взаимное расположение плоскостей: а) 2x y z 1 0

и 4x 2y 2z 1 0; б) x y 1 0 и y z 1 0.

6). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 1;7; 5

и отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.

Ответ: x y z 3 0.

5