Лекция 5

вектор N {A, B,C}, перпендикулярный плоскости (рис.

N

P

34). Вектор N называют нормальным вектором плоско-

P0

сти. Произвольная точка P(x, y, z) принадлежит плоско-

Рис. 34

сти тогда и только тогда, когда векторы P0P и N перпен-

дикулярны, а значит, их скалярное произведение равно нулю: P0P N 0, или в

координатной форме

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .

(3.1)

Ax By Cz D 0 .

(3.2)

Неполные уравнения плоскости

Выделим следующие случаи:

Если в уравнении плоскости отсутствует переменная

x , то плоскость па-

раллельна оси Ox .

Если в уравнении плоскости отсутствует переменная

y (или z ), то плос-

кость параллельна оси Oy (или Oz ).

Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, например,

x и

y , то плоскость параллельна плоскости xOy.

Действительно, если уравнение плоскости имеет вид:

By Cz D 0

(от-

w2

мальными векторами N 1

и N 2 (рис. 35). Поэтому

w1

N

N

1 N 2

1

N 2

cos

.

N 1 N 2

Рис. 35

Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда

их нормальные векторы N 1 {A1, B1,C1},

N 2 {A2 , B2 ,C2} коллинеарны, т.е.

d

4 ( 1) 2 4 5 14

21

21.

42 ( 2)2 12

21

Пример 3.2.

Построить

плоскости

с уравнениями

2x 3y 4z 12

и

3x 2 y 6.

Найти угол между этими плоскостями.

z

3

Решение. Первое уравнение – полное, содержит

x, y, z . Для построения плоскости удобно найти точки

6

4

y

пересечения плоскости с осями координат:

x

если

y z 0,

то x 6 ;

Рис. 37

если

x z 0,

то y 4;

если

x y 0,

то z 3.

Построим эти три точки M1(6,0,0) ,

M 2 (0, 4,0), M 3 (0,0,3)

и проведем че-

рез них плоскость (рис. 37).

z

Во втором уравнении 3x 2 y 6 отсутствует z , зна-

3

y

чит, это уравнение определяет плоскость, параллельную оси

2

Oz и проходящую через прямую 3x 2 y 6 , лежащую в

x

Рис. 38

плоскости XOY (рис.38).

N1

N2

2 3 3 2 4 0

cos

0.63,

arccos 0.63 51 .

N1

N 2

22 32 42

32 22 0

и, значит, их сме-

AM ,

AB,

AC лежат в одной плоскости, т.е. компланарны,

шанное произведение равно нулю :

x 1

y 2

z 3

0 1

2 2

1 3

0.

AM , AB, AC

4 1 3 2

2 3

Отсюда (x 1) ( 6) ( y 2) ( 9) (z 3) ( 15) 0 или

2x 3y 5z 11.