Практика 4

x x0

y y0

– каноническое уравнение прямой, где

M 0 x0;y0 – точка

p

q

прямой, l p;q – направляющий вектор прямой;

x x0

pt,

t ; .– параметрические уравнения прямой;

y y0

qt,

x x1

y y1

– уравнение прямой, проходящей через две точки

x2 x1

y2 y1

M1 x1;y1 и M2 x2;y2 ;

y y0

k x x0 – уравнение прямой с угловым коэффициентом k, прохо-

N1 N2

k

k

2

1

cos

cos

N ,N

, или tg

,

1 k1k2

1

2

N

N

1

2

A

B

k

k

2

, или N

|| N

2

1

1

.

1

1

A

B

2

2

Условие перпендикулярности прямых:

k1 k2 1 , или N1N2

0 A1A2 B1B2 0 .

Расстояние от точки M

0 x0;y0

до прямой Ax By C 0:

d

Ax0 By0

C

.

A2 B2

Решение.

Уравнение высоты CH треугольника ABC (рис.28) составим как урав-

нение

прямой,

проходящей

через точку

C 12; 1

с

нормальным

вектором

AB 6 0;5 1 6;4 :

6 x 12 4

y 1 0, или 3x 2y 34 0.

Длину высоты

CH

находим как рас-

стояние от точки C до прямой

AB. Уравне-

ние

AB составим

по

точкам A 0;1 и

B 6;5 :

Рис.28

x 0

y 1

, или

2x 3y 3 0. Тогда

CH

2 12 3 1 3

30

.

6 0

5 1

22 3 2

13

Пример 2.

Составить

уравнения

биссектрис

углов

между

прямыми

от прямых A1x B1y C1 0

и A2x B2y C2

0.

Точка

M x;y

принадлежит

биссектрисе

тогда

и

только

тогда,

когда

A1x B1y C1

A2x

B2y

C2

,

или

A2

B

2

A2 B2

1

1

2

2

Ax B y C

A x B y C

2

1

1

1

2

2

0.

Это и

есть

A2

B2

A2

B2

1

1

2

2

Рис.29

уравнения обеих биссектрис.

зующей с прямой 2x y 4 0

угол

.

4

Решение.

Угловой

коэффициент

данной

прямой

2x y 4 0 равен

–2. Тогда

угловой коэффициент k искомой прямой

должен

удовлетворять

условию

Рис. 30

уравнения этих

прямых по угловому

коэффициенту и точке M :

y 1 3 x 5 ,

3x y 14 0,

1

x 5

,

или

y 1

x 3y 8 0.

3

Решение.

1 способ. Пусть Ax By C 0 – общее уравне-

ние искомой прямой. Координаты точки P удовлетво-

ряют этому уравнению: 2A 4B C 0. Расстояние от

точки

Q до прямой равно 1:

0 A 3 B C

1 , или

A2 B2

3B C 2

A2 B2 .

Рис. 31

Решаем систему

2A 4B C 0,

Для этого из первого уравнения

2

A

2

2

.

3B C

B

выразим

3B C 2A B и

подставим во второе. Возведем полученное

уравнение в квадрат: 3A2 4AB 0 и,

учитывая первое уравнение, получим

A 0,

C 4B;

задачи

удовлетворяют

две

прямые

3

Условию

B

A,

C A.

By 4B 0,

или

y 4 0,

3

4x 3y 4 0.

Ax

Ay

A 0,

QQ1

1 по условию,

PQ

0 2 2 3 4 2

5,

PQ1

PQ

2

QQ1

2 2,

tg QPQ1

QQ1

1

.

PQ1

2

Таким образом, задача сводится к

тому, чтобы составить уравнение

прямой, проходящей через точку P 2;4

и образующей с прямой

PQ угол

arctg

1

(см. пример 3). Уравнение PQ (по 2 точкам):

x

y 3

, или

y

x

3.

2

2

1

2

Угловой коэффициент искомой

прямой удовлетворяет

условию:

нение прямой с угловым коэффициентом y 4;

y

4

x

4

.

3

3

Пример 5.

Известны уравнение стороны

AB квадрата ABСD x 3y 3 0 и точ-

ка пересечения диагоналей O 2;0 . Написать уравнение остальных его сто-

рон.

Решение.

Диагонали AC и BD проходят через

точку O и образуют со сторонами квадрата

углы в 45 . Как в примере 3 определяем их

уравнения:

y x/2 1 AC

и

y 2x 4

BD .

Рис. 32

направляющему вектору N 1;3 :

x 0

y 1

AD ,

x 3

y 2

BC .

1

1

3

3

x

xA xC

,

откуда

Точка O – середина отрезка AC, следовательно: 0

2

y

0

yA yC

,

2

C 4; 1 .

Уравнение DC найдем по точке C и нормальному вектору N 1;3 :

1 x 4 3 y 1 0, или x 3y 7 0.

Примеры для самостоятельного решения

1).

Написать уравнения сторон треугольника ABC,

если задана его вер-

шина

A 1;3 и уравнения двух медиан

x 2y 1 0 и y 1 0. Составить

уравнение высоты AH этого треугольника.

Ответ: стороны:

x 2y 7 0,

x 4y 1 0,

x y 2 0;

высота:

4x y 7 0.

2).

Дана точка

M 1;2 и прямая L:

2x y 1 0. Вычислить расстоя-

ние от точки M до прямой L. Записать уравнение прямой, проходящей через

точку M : а) перпендикулярно L; б) параллельно L; в) под углом /4 к L.

Ответ:

3

.

а)

x 1

y 2

; б) 2 x 1 y 2 0;

в)y 3x 1,

y

x

7

.

2

3

5

1

3

3).

Даны две противоположные вершины квадрата A 1;3 и C 1;1 . Най-

ти координаты двух других его вершин и написать уравнения сторон.

Ответ: B 1;1 , D 1;3 , x 1 0 AB ,

y 1 0 BC , x 1 0 CD ,

Ответ:

x

y

1,

x

y

1.

8

4

6

3

Ответ: x 5y 44 0 AC ;

x y 2 0 BC ;

5x y 44 0 AB .