Лекция 4

Определение.

Пусть вектор

затем

a

векторно умножается на вектор b ,

получившийся вектор

скалярно умножается на вектор

В результате

a b

c .

получается

число,

которое

называется

векторно-скалярным

или

смешанным

произведением

векторов

и

обозначается

или

Таким

a,b,c

a b c

(a,b,c) .

образом,

(2.25)

a b c (a b ) c .

Свойства смешанного произведения

1). Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и

только тогда, когда эти векторы компланарны.

2). Если векторы

− некомпланарны и V –

объем параллелепипеда,

a,b,c

построенного на этих векторах, приведенных к общему началу (рис.31), то

V ,

если

a,b,c - правая тройка,

a b c

V , если

a,b,c - левая тройка.

3). Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке

множителей и меняет знак при перестановке соседних множителей:

abc bca

cab bac

cba acb.

4). Смешанное произведение не меняется при перестановке местами знаков

векторного и скалярного умножения:

abc

(a b )

c

a

(b

c ).

5). Свойство линейности:

( a b ) c d

(a c d ) (b c d ),

a ( b c) d

(a b d ) (a c d ),

a b ( c d ) (a b c) (a b d ).

Проверим первое свойство. Смешанное произведение

a b c

a b

c , как

скалярное произведение векторов

d

a b и c , равно нулю тогда и только тогда,

Вектор

когда векторы d

и c − перпендикулярны.

d a b

перпендикулярен

плоскости

векторов

d

a b

Поэтому

вектор

(рис.30)

будет

a, b .

c

c

тогда и только тогда,

перпендикулярен вектору d

a

b

когда он будет находиться в плоскости

Рис.30

векторов a, b .

Проверим второе свойство. С одной стороны,

cos ,

(2.26)

a b c

(a b ) c

a b

c

где − угол между вектором a b и вектором c .

С другой стороны, объем параллелепипеда V, построенного на векторах

, равен произведению площади основания, равной

, на высоту, равную

a,b,c

a b

но и одинаковые знаки. Таким образом,

abc bca cab .

Тройки же векторов, полученные путем перестановки соседних векторов,

имеют разные

ориентации,

следовательно, их

смешанные

произведения

отличаются знаками, хотя и равны по модулю. Поэтому abc bac cba acb .

Проверим

четвертое

свойство.

Из предыдущего свойства

следует,

что

abc bca . Тогда abc

(a b ) c

a (b

c ).

Пусть в ортонормированном базисе

заданы векторы

i ,

j , k

{c1,c2 ,c3}.

a {a1, a2 , a3},

b {b1,b2 ,b3},

c

Вычислим

смешанное

произведение

этих

векторов, воспользовавшись

формулой : a b c (a b ) c . Вспомним, что

i

j

k

b

b

b

b

b

b

b

b1

b2

b3

i

2

3

j

1

3

k

1

2

.

c

c2

c3

c1

c3

c1

c2

c1

c2

c3

Далее, скалярное произведение вектора

на вектор

равно сумме

a

b

c

произведений их одноименных координат:

b2

b3

b1

b3

b1

b2

a1

a2

a3

a b c

a

(b

c ) a1

c

2

c

3

a2

c c

3

a3

c c

2

b1

b2

b3

.

1

1

c1

c2

c3

Итак,

смешанное

произведение

векторов

a {a1, a2 , a3}, b {b1,b2 ,b3},

,c3}, заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

c {c1,c2

a1

a2

a3

b1

b2

b3

.

(2.27)

a b c

c1

c2

c3

Пример

2.14.

Вычислить

смешанное

произведение

векторов

a

2 i j 3 k ,

b 3i j,

c i 4 k .

Решение. По формуле (2.27) имеем:

2

1

3

0

3

0

3

1

1

a b c

3 1

0

2

0

4

1

1

4

( 3)

1

0

2 ( 4) 1 12 3 1 23 .

1

0

4

Применения смешанного произведения

1). Проверка компланарности трех векторов

компланарны

(2.28)

a,b,c

a b c 0 .

2). Проверка принадлежности четырех точек A, B, C, D одной плоскости П

( A, B, C, D) П

(2.29)

( AB, AC, AD) 0 .

Действительно, точки A, B, C, D принадлежат

одной плоскости (рис.32) тогда и только тогда, когда

B

C

A

D

векторы AB, AC, AD

компланарны,

что равносильно

Рис. 32

равенству нулю их смешанного произведения.

3). Вычисление объемов пирамиды

и параллелепипеда, построенных на

векторах

a,b,c , и их высоты

hc , опущенной из конца вектора c

1

a b c

Vпар

a b c

,

Vпир

a b c

,

h c

.

(2.30)

6

a b

4

c

h

b

a

(приведенных к

общему

началу).

С

другой

стороны,

объем

a,b,c

параллелепипеда равен произведению площади основания

Sосн

на высоту

hc .

Основанием является параллелограмм, построенный на векторах

a

и b . Поэтому

h c

Vпар

a b c

Sосн S

a b

. Таким образом,

.

S

a b

Для вычисления объема пирамиды

Vпир ,

построенной на векторах

a,b,c

1

1

1

1

1

(рис.33), воспользуемся формулой Vпир

S h c

S hc

Vпар

a b c

.

3

3

2

6

6

Пример

2.15.

Проверить,

что

векторы

a i 2 j ,

b 3i 5 j 4 k ,

некомпланарны. Найти объем параллелепипеда, построенного на этих

c

2i k

векторах,

приведенных к общему началу, и высоту ha , опущенную

из конца

вектора a .

Решение.

Найдем смешанное произведение векторов a,b,c :

1

2

0

5 4

3

4

3 5

a b c

3