Добавил:

Engels Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

Дополнительные главы математики

Файл:

Практика 3

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2025

Размер:

511.51 Кб

Скачать

☆

Практика 3

		СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
	Пример 1.
	Вычислить j,i,k .
	Решение.
	По определению смешанного произведения j,i,k j i k k k
		2
		2
k		1.

Пример 2.

Вычислить смешанное произведение i, j, 5i 3j .

Решение.

Смешанные произведения, содержащие два равных вектора, равны ну-

лю. Поэтому i, j, 5i 3j i, j,5i i, j, 3j 5 i, j, i 3 i, j, j 0.

Ответ задачи можно получить, используя условия компланарности век-

торов. Действительно, векторы i , j,5i 3j компланарны, т.к. вектор 5i 3j

есть линейная комбинация базисных векторов i , j плоскости. Известно, что,

если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю,

т.е. i, j, 5i 3j 0.

Пример 3.

Вектор c перпендикулярен векторам a,b; векторы a, b, c образуют левую тройку. Зная, что a 6, b 3, c 3, угол между векторами a и b

равен , вычислить смешанное произведение a,b,c . 6

Решение.

Так как векторы a, b, c некомпланарны и образуют левую тройку, то смешанное произведение a,b,c V , где V – объём параллелепипеда, по-

строенного на этих векторах. Из геометрии известно, что V Sосн H , где

Sосн – площадь основания параллелепипеда, H – его высота; Sосн a b

(см. применение векторного произведения); H

т.к. c a, c b. Тогда

a b

sin a ^b

sin

6 3

3 27,

a,b,c 27.

Пример 4.

Вычислить смешанные произведения a,b,c и b,a,c , если известны координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе:

a 0;1;2 , b 1;1; 1 , c 1; 2; 2 .

Решение.

Используем формулу для вычисления смешанного произведения в ор-

тонормированном базисе:

	a1 a2		a3	0 1		2		1	1		1 1

a,b,c	b1	b2	b3	1	1	1	1			2		1 2 1 2 2 1 1 2 3.
								1	2		1 2
	c1	c2	c3	1	2	2						b,a,c a,b,c , откуда

По свойствам				смешанного				произведения

b,a,c 3.

Пример 5.

Компланарны ли векторы a 1;0;1 , b 1; 1;0 , c 2;3; 1 ?

Решение.

Известно, что если смешанное произведение трёх векторов равно нулю,

то векторы компланарны.

Вычислим смешанное произведение векторов a, b, c:

	1	0	1		1	0	1	1	1 3 2 1 1 0.
	1	0	1
a,b,c	1	1	0	1
	2	3	1		3	1	2	3
	2	3	1
Т.к. a,b,c 0, то векторы a, b, c компланарны.
Пример 6.
Лежат ли четыре			точки A(1;0;1), B(1;0;0), C(2;1;0), D(0;2;1) в одной

плоскости?

Решение.

Если точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, то в этой плоскости

лежат и векторы AB, AC , AD.
Найдём координаты векторов AB 0;0; 1 ,	AC 1;1; 1 ,

AD 1;2;0 , вычислим смешанное произведение этих векторов:

	0	0	1	1	1	1	1 2 1 3 0 ;

AB,AC,AD	1	1	1
	1	2	0		1	2

следовательно, векторы AB, AC , AD не компланарны, т.е. не лежат в одной плоскости, а значит и точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Пример 7.

Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах

a 0; 1; 1 , b 1;1; 1 , c 1; 0;1 .

Решение.

Известно, что Vпар a,b,c . Вычислим:

	0	1	1		1	1		1	1

a,b,c	1	1	1	1			1			1 1 1 0 1 1.
					1	1		1	0
	1	0	1

Следовательно, Vпар 1.

Пример 8.

Даны вершины треугольной пирамиды: A(2;3;1), B(4;1; 2), C(6;3;7),.

D( 5; 4;8). Найти объём пирамиды и длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

Решение.

	1		1

Известно, что Vпир		Vпар		AB,AC,AD	. Найдём координаты
Известно, что Vпир		Vпар		AB,AC,AD	. Найдём координаты
6		6
6		6

векторов: AB 2; 2; 3 , AC 4;0;6 , AD 7; 7;7 . Вычислим смешанное про-

изведение этих векторов:

													2					2		3	2 42 2 28 42 3 28 308.
			AB,AC,AD										4					0		6	2 42 2 28 42 3 28 308.
													7					7		7
		Тогда V							308					154			. Высота пирамиды H совпадает с высотой парал-
		Тогда V															. Высота пирамиды H совпадает с высотой парал-
						пир			6				3
									6				3
лелепипеда,						построенного													на	тех		же	векторах	AB, AC , AD.	Поэтому
	V				AB,AC,AD
	V				AB,AC,AD
H		пар														.			Найдём				векторное	произведение	AB AC :
		пар
	Sосн
	Sосн						AB AC
					i			j		k
					i			j		k
AB AC				2			2			3		12i 24j 8k .
				4		0			6



		Тогда						AB AC										122 242				82 4 9 36 4 4 49 4 7 28 и
H		AB,AC,AD								308					11.
		AB,AC,AD								308


											28
			AB AC								28

Пример 9.

Вычислить проекцию вектора a b на вектор c, где a 1;1; 2 ,

b 1; 1;1 , c 1;2; 2 .

Решение.

d c

a b

a,b,c

По формуле

прc d

найдём

прc a b

, где

a,b,c – смешанное произведение векторов a, b,

2 1 4 2 2 2 3;

1 4 4 3

a,b,c

пр

a b

Пример 10.

Заданы векторы

p 3; 2;1 ,

q 1;1; 2 ,

r 2;1; 3 ,

c 11; 6;5

своими координатами в некотором ортонормированном базисе трёхмерного

пространства R3. Показать, что векторы										p, q, r составляют базис R3 и най-
ти координаты вектора c в этом базисе.
Решение.
По определению базиса пространства											R3 векторы p, q, r должны
быть некомпланарны, т.е. их смешанное произведение отлично от нуля.
		3	2	1	3	1	2	2	1	2		1	1	3 14 3 8 0.


pqr	1		1	2
		2	1	3		1	3		2	3		2	1
		2	1	3
Итак,		p,	q,	r образуют базис R3. Запишем разложение вектора c по

базису p, q, r: c 1 p 2q 3r.

Скаляры 1, 2 , 3 и есть искомые координаты. Так как равные век-

торы в одном базисе имеют равные координаты, то для отыскания 1, 2 , 3

11 3 1 2 2 3,

получим систему: 6 2 1 2 3,

5 1 2 2 3 3.

Найдём решение системы по формулам Крамера:

			3	1		2	8; 1					11		1		2		16;

			2 1			1						6 1				1
			1	2		3						5		2			3
2				11		2		24; 3						3		1		11			8;
		3

		2		6		1
														2			1 6
		1		5		3								1		2		5
	1				16	;	2		2		24		;		3		3		8	1.

1				8						8								8
Итак, c 2 p 3q r .
Пример 11.
Даны векторы		a i j 3k ,								b 2;2;1 .							Найти проекцию вектора

c a b на ось, образующую с осью абсцисс угол , с осью ординат угол ,

с осью аппликат угол, больший .

Решение.

Единичный вектор e, направленный по заданной оси, имеет координа-

тами направляющие косинусы углов											(с осью		абсцисс),				(с осью
тами направляющие косинусы углов											(с осью		абсцисс),				(с осью
									3							4
ординат), γ (с осью аппликат).
Известно, что cos2 cos2 cos2 1. Тогда
cos	2		cos	2		cos	2	1; cos	2	1		3	1	, cos	1	.
cos		3	cos		4	cos		1; cos		1		4	4	, cos	2	.
		3			4							4	4		2