Практика 2

Практика 2

длину, т.е. j k i .

1

поi ложно направлены (поворот от вектора j к вектору i с конца вектора k

происходит по часовой стрелке, (рис. 9), следовательно, правую тройку обра-

Пример 2.

Вычислить 5a b a b .

Решение.

Вычислим 5a b a b , используя свойства векторного произве-

дения: 5a b a b 5a a b a 5a b b b. Вспомним, что

a b b a и a a 0. Получим 5a b a b a b 5 a b 6 a b .

2

a b m 2n m 3n m m 3m n 2n m 6n n 3n m 2n m 5n m.

При вычислении использованы свойства векторного произведения:

правило раскрытия скобок, a a 0, a b b a, a b a b a b .

Площадь параллелограмма

3

Решение.

Поместим вектор c на прямую l , проходящую через точку B парал-

лельно вектору c, как на рис.10: BD c. Рассмотрим параллелограмм, по-

строенный на векторах BA и BD c. Расстояние d от точки A до прямой

l есть длина высоты параллелограмма, опущенной из точки A на сторону

Итак, Sпар 9. Из геометрии известно, что Sпар BD d . Вычислим

BD c 4 4 1 3. Получим 3d 9 d 3 (расстояние от точки A до

прямой l ).

Пример 7.

Найти вектор m, зная, что он перпендикулярен векторам a 3;4;2 ,

b 0;2;1 , а скалярное произведение m c 12, где c 2i 3j k.

Решение.

По условию задачи m a, m b, следовательно, вектор m параллелен

вектору a b, который по определению векторного произведения, перпенди-

кулярен перемножаемым векторам a и b. Тогда m a b .

ловию задачи m c 12. По формуле вычисления скалярного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, получим

4

m c 0 2 3 3 6 1 9 6 3 ; 3 12; 4.

Окончательно имеем вектор m 0; 12;24 .

Пример 8.

Сила F 2;2;9 приложена к точке A 4; 2; 3 . Определить момент

этой силы относительно точки B 3; 2; 1 .

Решение.

Известно, что момент mB F силы F, приложенной к точке A, относи-

тельно точки B, равен BA. Найдём координаты вектора BA.

Пример 9.

Точка A 1; 2; 3 вращается относительно 0;0;0 с постоянной угло-

вой скоростью w i j 2k. Найти координаты вектора линейной скорости точки A.

Решение.

Известно, что V A w rA, где rA − радиус-вектор точки A, V A − ли-

нейная скорость точки A.

ничный вектор e , перпендикулярный векторам a, b и образующий с ними правую тройку a, b, e.

5

Решение.

Так как вектор e перпендикулярен векторам a и b, то он коллинеарен

6

Решение.

Поскольку обе прямые параллельны одному и тому же вектору, то прямые параллельны. Итак, задача состоит в определении кратчайшего рас-

стояния между параллельными прямыми. Один из способов решения этой за-

дачи состоит в вычислении длины высоты параллелограмма, две параллель-

ные стороны которого, например, AD и BC лежат на данных прямых l иq (рис.12). Определим координаты вектора AB 0;4;2 (из координат

конца вычтем координаты начала вектора). Известно, что AD m 1;2;2 .

7

Итак, расстояние между прямыми l и q равно 2.

Пример 13.

Найти вектор a, перпендикулярный векторам b i j k, c 2j k ,

если проекция вектора a на ось l, составляющую равные острые углы с ося-

ми координат, равна 23 .

Решение.

В результате векторного умножения вектора b на вектор c получается вектор, перпендикулярный векторам-сомножителям, следовательно a||b c и

координаты искомого вектора a пропорциональны координатам векторного произведения b c.