Лекция 1

a11

a12

...

a1n

a

21

a

22

...

a

A

2 n

.

...

...

...

...

am2

...

am1

am n

a11

a12

a 11 a22 a 12 a21 .

a21

a22

Определитель третьего порядка – это число

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a

a

a

a

a

a

.

21

22

23

11

a32

a33

12

a31

a33

13

a31

a32

a31

a32

a33

4

2

3

3

1

2

1

2

3

2

3

1

4

2

3

4(3 1 6 1) 2( 2 1 1 1) 3( 2 6 1 3) 51.

1

6

1

6

1

1

1

1

6

В

математике

вектор

− это

направленный отрезок.

B

Направление указывают стрелкой (рис.1); различают начало

a

A

вектора

А и его конец

его

Рис. 1

В. Обозначают вектор a, AB,

длину a,

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называют

a

,

AB

.

нулевым и обозначают

Его направление считается произвольным, а длина –

0.

нулевой.

Если

векторы

параллельны

одной

прямой,

то они

называются

коллинеарными.

При

этом

векторы могут быть направлены в

одну сторону

(сонаправлены),

или

−

в

разные

стороны

( противоположно

направлены).

Записывают это так:

a b

или a b .

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

В математике два вектора называются равными,

если они имеют одинаковые длины,

коллинеарны и

B

сонаправлены. На рис.2 в параллелограмме ABCD

C

векторы

AB и DC − равны,

так

как AB DC и

D

А

AB

DC

,

а векторы CB и

AD

не

равны, так как

Рис.2

CB AD .

Для сложения двух неколлинеарных векторов

a и b

B

отложим

от какой-нибудь точки А (рис.3)

вектор

AB ,

b

C

a

равный

, затем от точки В отложим вектор BC

A

c

a

, равный b .

Рис.3

Тогда вектор

AC

называют суммой векторов

Это

a и

b .

правило

сложения

двух

векторов

называют

правилом

треугольника.

По

этому

же правилу складываются

и

B

A

a

b

C

коллинеарные векторы (рис.4), хотя при их сложении и не

a b

получается треугольника.

Рис.4

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно

пользоваться также правилом параллелограмма: от какой-

B

C

a

a b

нибудь

точки

А отложить векторы

AB a и

AD b

и

построить параллелограмм ABCD (рис.5). Тогда вектор

A

D

AC

b

Рис.5

равен a b .

Сложение более двух векторов производится

по

правилу

многоугольника.

Например,

для сложения

четырех векторов

a, b, c, d

(рис.6) от произвольной точки A откладываем

, затем из точки B

вектор AB a

D

откладываем вектор BC b , из точки C откладываем CD

c ,

B

из точки

c

D откладываем вектор DK d . Тогда вектор

AK

b

C

(направленный из начала первого вектора к концу последнего)

a

d

A

K

равен a b

c d .

Произведением ненулевого

вектора

число

называется

вектор

a на

b

a , такой, что

1)

,

b

a

2) b a, если 0,

b

a, если 0.

Нетрудно

проверить,

что

два ненулевых вектора

a

и b коллинеарны

тогда и только тогда, когда существует единственное число

такое, что a b :

.

(2.1)

a || b

a b

Пример 2.1. В ABC известны векторы

,

B

AB a

BC b , BK - медиана (рис.8). Найти вектор

BK .

A

C

К

1

1

1

1

BK

BD

(BC BA)

(BC AB)

(b

a) .

2

2

2

2

(2.2)

a

a1e1 a2e2 .

Говорят, что

разложен

по

а

коэффициенты

вектор a

базису e1, e2 ,

разложения a 1, a 2

называют

координатами

вектора

в

базисе

a

e1, e 2 .

Отметим, что разложение вектора a по базису

e

1, e 2 единственно.

Разложение вектора по базису в пространстве

Базис в пространстве –

,

это три некомпланарных вектора e1

, e2

, e3

OB a 1e1 a2 e2

. Вектор BA коллинеарен вектору e 3 , поэтому найдется число a3

такое, что BA a3 e3. Тогда

(2.3)

a

a1 e1

a2 e2

a3 e3 .

Вектор

разложен

по базису

;

коэффициенты разложения

a

e

1, e 2

, e3

a 1, a2 , a 3 есть координаты вектора

a в базисе e

1, e 2

, e 3 .

Проверим третье

свойство.

Пусть в

базисе

имеет

e1, e 2

, e 3 вектор

a

координаты

a 1, a2 , a 3 ,

b1, b2 , b 3 . Векторы

вектор b − координаты

a

и b

коллинеарны тогда и только тогда, когда

Используя первое свойство,

a b .

получим

a2 b2 ,

a3

b3.

(2.4)

a || b a1 b1,

Это

и

означает

пропорциональность

координат

Если

векторов a и

b .

b1, b2 , b 3

отличны от нуля, то эти соотношения записывают в виде

a 1

a 2

a 3

.

b1

b 2

b 3

a

a

2

a

3

a || b

1

.

(2.5)

b

b

b

1

2

3

Координаты точки. Их связь с координатами вектора

, поместим

Рассмотрим базисные векторы e1,

e

2 , e3

z

их в общее начало – фиксированную точку O (начало

A

координат). Через точку O и базисные

векторы e3

rA

проведем оси координат Ox, Oy, Oz (рис. 11).

O

y

Рассмотрим точку

A .

Вектор

называют

e2

OA

точки А (рис.11), а его координаты

e1

радиус-вектором rA

Рис.11

x

− координатами точки А в

в

базисе e1, e 2

,e 3 или

системе

координат

Oxyz .

Координаты вектора будем

A

писать

в

фигурных

скобках

OA {a1, a2 , a3} ,

а

координаты точки – в круглых скобках A(a1, a2 , a3 ) .

rA

B

rB

Выразим

координаты

вектора

AB

через

A(a1, a2 , a3 )

O

координаты

его

начала

и

конца

Рис.12

B (b1,b2 ,b3 ).

Радиус-векторы

этих

точек

r

{a , a

2

, a

},

r {b ,b ,b }.

Вектор

AB соединяет концы этих векторов (рис.

A

1

3

B

1

2

3

12), следовательно,

r

и по свойствам координат векторов

AB r

B

A

a2 , b3

a3}.

AB {b1 a 1, b2

(2.6)

− сонаправлены.

Рассмотрим

того, векторы AC

и CB

Поэтому AC CB .

(рис.13) радиус-векторы r

, r ,

r

точек A,

r ,

r

B, C . Тогда AC r

CB r

A

B

C

C

A

B

C

r

(r

r ) . Из этого соотношения

и равенство AC CB примет вид: r

C

A

В

С

r

r r r

или

r

rA rB

.

C

A

В

С

C

1

Аналогичными соотношениями связаны и координаты точек A, B, C :

c

a1 b1

,

c

2

a2

b2

,

c

a3 b3

.

(2.7)

1

1

1

3

1

Если точка С делит отрезок АВ пополам, то 1 и

c

a1 b1

,

c

a2 b2

,

c

a3 b3

.

1

2

2

2

3

2

Найдем координаты точки C2 по формулам:

Рис.14

С4

B

a1 b1

3

2

15

a2

b2

2

2

6

x

3

7.8,

y

3

3.6,

1

2

1

2

1

1

3

3

2

a3 b3

1

( 1)

z

3

0.2 .

2

1

1

3

Пример 2.3.

В трапеции

ABCD (рис. 15) известны координаты трех её

вершин

A(1,1, 4), B(3, 2, 1),C(4,3, 4). Найти координаты вершины D ,

если она

лежит в плоскости YOZ .

Решение.

Так как

вершина D

лежит в плоскости YOZ , то её первая

координата

x 0 ,

две другие координаты неизвестны, обозначим их y , z.

Итак,

точка D

и

имеет координаты D(0, y, z) . Найдем координаты векторов AB

DC,

2 1 , 1 4}

{2,1,3},

3 y,

4 z}.

AB {3 1,

DC {4,

то их

Так как векторы

AB и

DC коллинеарны,

A

B

соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

4

3 y

4 z

.

D

C

2

3

Рис.15

1

Тогда 2 3 y,

2

4 z

или z 2, y 1

и D(0,1, 2) .

3