Вопросы к экзамену

Вопросы к экзамену

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Вопросы

1. Векторная алгебра. Вектор, равенство векторов. Сумма векторов, произведение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось, свойства проекции. Линейная зависимость векторов. Базис.

2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, применение и вычисление.

3. Аналитическая геометрия. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояние от точки до плоскости в пространстве.

4. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Угловые соотношения между ними.

5. Кривые второго порядка в декартовой и полярной системах координат .

6. Поверхности 2-го порядка. Метод сечений.

7. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Муавра, извлечение корня n-ой степени.

8. Многочлены. Неприводимость многочленов над различными числовыми полями. «Основная теорема алгебры», теорема Безу.

9. Матрицы. Определение и частные виды матриц. Операции над матрицами. Свойства умножения матриц. Понятие определителя матрицы n-го порядка.

10. Теоремы аннулирования и разложения по любой строке. Минор, алгебраическое дополнение. Формулы Крамера для систем линейных уравнений.

11. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной. Применение обратной матрицы к решению матричных уравнений. Метод Гаусса.

12. Определение линейного пространства, примеры. Подпространства, критерий подпространства. Базис и размерность. Линейная зависимость арифметических векторов.

13. Ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований.

14. Определение СЛУ, совместность, однородность. Общее решение СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли.

15. Однородные СЛУ. Теоремы о линейных комбинациях решений ОСЛУ, о пространстве решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ. Теорема об общем решении неоднородной СЛУ.

Типовые задачи

1. Даны две смежные вершины квадрата A(1, -2) и B(2, 3). Вычислить его площадь.

2. Даны три вершины A(4, 6), В(10, -10), С(-2, –2) параллелограмма АВСD, четвертая вершина D противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма.

3. Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(-2, 5) относительно прямой, проходящей через точки A(6, 6), В(3, 4).

4. Даны вершины треугольника A(1, 4), В(-2, 2), С(2, 5). Составить уравнение его высот.

5. Отрезок, ограниченный точками A(-1, 5) и B(5, 8), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны две вершины A(–8, 5) и B(0, 1) треугольника АВС и точка N(-1, 5) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7. Точка A(–2, 2) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон этого квадрата.

8. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из вершин А(2, 0) и уравнения двух медиан , .

9. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями и построить эти линии.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы и найти координаты ее центра и полуоси, если левая вершина гиперболы находится в правом фокусе эллипса: , правая вершина гиперболы находится в вершине параболы , эксцентриситет гиперболы равен 4/3 .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(-1, 2) вдвое меньше расстояния от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(1, -2, 0); ₂=(2, 3, -1); ₃=(4, -3, -1); =(4, 8, -2) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(1, -3, 5).

17. Два вектора =(4, -3, 0) и =(-2, 2, 1) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Найти проекцию вектора =(4, 2, 4) на направление вектора .

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями и углы , а с осью тупой угол .

21. Векторы (2, -1, 1) и (1; 0; 2) являются сторонами параллелограмма ОАСВ. Точка N – середина стороны ВС. Найти .

22. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(3, -2, -1), .

23. Даны вершины треугольника АВС: А(1, 6, -1), В(4, 4, 5) и С(-2, 1, 7). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

24. Вектор , ортогонален к оси и вектору (-1, 2, 3) и образует с осью острый угол. Найти координаты вектора , если .

25. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если 2, и .

26. Вычислить смешанное произведение векторов , (2, 0, -3), (-1, 3, -4).

27. Заданы векторы: , , . Показать, что эти три вектора не компланарны; установить ориентацию тройки векторов .

28. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(1, 3, 0), В(-1, 6, -6), С(-1, 3, 0), D(1, 6, 2).

39. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов – левая.

30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2, -1, 7), параллельную плоскости .

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(5, -3, 0) и прямую .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-1, 2, -4) перпендикулярно плоскостям и .

34. Найти расстояние от точки М₀(-4, 5, 4) до плоскости .

35. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(3, 4, -5), параллельно прямой , , .

36. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

37. Найти проекцию точки на прямую , , .

38. Найти координаты точки Q, симметричной точке относительно плоскости .

39. Найти координаты точки Q, симметричной точке относительно прямой .

40. Вычислить растояние от точки до прямой .

41. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , ;

б) , , (при )

42. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

43. Найти матрицу , где

, , .

44. Найти ранг матрицы:

а) ; б) .

45. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

46. Является ли вещественным линейным пространством множество всех вещественных матриц второго порядка вида , где ;

47. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 2, 3, -4), =(1, 2, 0, 0), =(1, -1, -1, 2), =(2, 1, 2, -2).

8