Сводка теорем алгебры кортежей

Сводка определений и теорем алгебры кортежей

Сокращения

АК – алгебра кортежей ДП – декартово произведение множеств

ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма КНФ – конъюнктивная нормальная форма

1. Основные определения

Элементарный кортеж – кортеж элементов.

Многоместное (n-местное) отношение – это подмножество элементарных кортежей ДП X1 X2 … Xn.

Пусть некоторое отношение R задано как подмножество ДП X1 X2 … Xn. Тогда будем считать данное ДП универсумом этого отношения:

U = X1 X2 … Xn. Из этого следует: R U.

В дальнейшем будем называть имена множеств, из которых сформирован универсум, атрибутами этого отношения, элементы этих множеств – значениями соответствующих атрибутов, а сами множества значений – доменами этих атрибутов.

Компонентой называется произвольное подмножество атрибута Xi.

Фиктивные компоненты:

–полная ( ) равна домену соответствующего атрибута;

–пустая ( ) равна пустому множеству.

Схемой (заголовком) отношения называется заключенная в квадратные скобки последовательность атрибутов, ДП которых выражает универсум данного отношения.

Например, имя трехместного отношения R2[X1X4X6] означает, что универсумом отношения R2 является ДП U = X1 X4 X6.

Однотипные отношения – отношения, заданные в одном и том же универсуме.

2. АК-объекты

АК-объекты – это варианты отображения n-местных отношений, которые являются сжатыми множествами однотипных n-местных элементарных кортежей.

C-кортеж – это n-местное отношение, равное ДП содержащихся в нем компонент, которые записаны в виде кортежа, ограниченного квадратными скобками.

Например, АК-объект R[XYZ] = [A B] – это C-кортеж, причем A X, B Z, а компонента « » равна домену соответствующего атрибута (в данном случае, поскольку « » находится на второй позиции, то в соответствии со схемой отношения = Y). Этот C-кортеж можно преобразовать в обычное трехместное отношение с помощью ДП следующим образом:

R[XYZ] = A Y B.

C-система – это отношение, равное объединению однотипных C-кортежей, которые записываются в виде строк матрицы, ограниченной квадратными скобками.

Данная C-система преобразуется в обычное отношение с помощью ДП следующим образом:

Q[XYZ] = (A1 Y A3) (B1 B2 Z).

Диагональная C-система – это C-система размерности n n, у которой все недиагональные компоненты – полные ( ).

Необходимость диагональной C-системы в АК обусловлена тем, что с ее помощью можно точно выразить дополнение C-кортежа.

В диагональной C-системе не обязательно, чтобы неполные компоненты были расположены в матрице строго по диагонали. Главное, чтобы в каждом атрибуте и в каждой строке содержалась единственная неполная компонента. Например,

D-кортеж – это отношение, равное диагональной C-системе и записанное как ограниченный перевернутыми квадратными скобками кортеж ее диагональных компонент.

D-система – это отношение, равное пересечению однотипных D-кортежей, записанное как ограниченная перевернутыми квадратными скобками матрица компонент, в строках которой расположены участвующие в операции D-кортежи.

Если считать, что компоненты АК-объектов представляют одноместные предикаты Pk(xi), у которых переменные xi соответствуют определенным атрибутам, то C-кортежи являются интерпретацией конъюнкции одноместных предикатов с разными переменными, а D-кортежи – интерпретацией дизъюнкции одноместных предикатов с разными переменными. Соответственно C-системы – это интерпретации ДНФ, а D-системы это интерпретации КНФ. Все АК-объекты также являются интерпретацией предикатов.

3.Операции с атрибутами в АК

САК-объектами, используя указанные ниже теоремы, можно выполнять обычные

операции алгебры множеств: пересечение ( ), объединение ( ) и дополнение (Ri ).

Чтобы выполнять операции с АК-объектами, имеющими разные схемы отношения, а также cделать возможной интерпретацию формул с кванторами, требуются помимо операций алгебры множеств операции с атрибутами. Перечислим основные.

Добавление фиктивного атрибута (+X) – операция, при которой в схему отношения АК-объекта добавляется новый атрибут X, а в матрицу на соответствующем месте вставляется столбец с фиктивными компонентами. При этом в C-кортежи и C- системы добавляются фиктивные компоненты " ", а в D-кортежи и D-системы – фиктивные компоненты " ".

Эта операция позволяет решить задачу сопряжения АК-объектов с разными схемами отношения за счет того, что разнотипные АК-объекты при добавлении недостающих фиктивных атрибутов без потери смысла преобразуются в однотипные АК-объекты.

Рассмотрим пример. Пусть задана C-система

Операция +X является интерпретацией правила обобщения (Gen) исчисления предикатов в следующей формулировке, которая отличается от традиционной его формулировки без всяких условий:

из формулы A выводима формула x(A) при условии, что в формуле A нет свободных вхождений переменной x, а если переменная x свободна в A, то она фиктивная.

Фиктивной переменной в логической формуле A называется свободная переменная x, для которой справедливо равенство A = x(A).

Элиминация атрибута (–X) – это операция, при которой из схемы отношения АК-объекта удаляется атрибут X, а из матричного представления – соответствующий столбец.

В отличие от операции +X элиминация атрибута существенно изменяет смысл АК-объекта. Подробнее об этом в Теоремах 31 и 32.

Проекция АК-объекта – результат выполнения одной или нескольких операций элиминации атрибута (–X) при условии, что АК-объект задан как C-кортеж или C-система (алгоритмы преобразования D-кортежей или D-систем в C-системы сформулированы в Теоремах 23, 25 и 27).

4. Обобщенные операции и соотношения

Обобщенными операциями G и G в АК называются операции пересечения ( ) и

объединения ( ) произвольных АК-объектов с предварительным приведением их к единой схеме отношения за счет добавления недостающих фиктивных атрибутов.

Например, пусть заданы C-системы

включения и равенства произвольных АК-объектов, перед проверкой которых АК-объекты приводятся к единой схеме отношения за счет добавления недостающих фиктивных атрибутов.

5.Теоремы алгебры кортежей

Вформулировках теорем схемы отношений в именах АК-объектов не указаны, так как речь в них идет об однотипных отношениях.

Теорема 1 (проверка включения C-кортежей). Пусть даны два однотипных

C-кортежа P = [P1 P2 … PN] и Q = [Q1 Q2 … QN]. Тогда P Q, если и только если Pi Qi верно для всех соответствующих пар компонент сравниваемых C-кортежей.

1)P Q или Q P;

2)для всех пар Pi и Qi выполняется Pi = Qi, за исключением одной пары.

D-кортежа Qj из Q выполняется P Qj.

Теорема 22 (проверка включения C-системы в однотипную D-систему). Для C- системы P и D-системы Q справедливо P Q, если и только если каждый C-кортеж из P включен в каждый D-кортеж из Q.

Теорема 23 (преобразование D-кортежа в C-систему). Каждый D-кортеж

Теорема 24 (преобразование C-кортежа в D-систему). Каждый C-кортеж P = [P1 P2 … Pn] эквивалентен диагональной D-системе

Теорема 25 (преобразование D-системы в C-систему). D-система P, содержащая M D-кортежей, эквивалентна C-системе, которая является пересечением всех C-систем, полученных с помощью преобразования каждого D-кортежа из P в диагональную C-систему.

Теорема 26 (преобразование C-системы в D-систему) C-система P, содержащая M C-кортежей, эквивалентна D-системе, которая является объединением всех D-систем, полученных с помощью преобразования каждого C-кортежа из P в диагональную D-систему.

Теорема 27. D-кортеж P = ]P1 P2 ... Pm-1 Pm[ преобразуется в эквивалентную ему ортогональную C-систему:

Теорема 28. Добавление нового фиктивного атрибута с компонентами « » в D-кортеж или D-систему соответствует тому, что в эквивалентные им C-системы добавляется фиктивный атрибут с полными компонентами.

Теорема 29. Алгебра кортежей с обобщенными операциями G , G и отношениямиG , G , G изоморфна алгебре множеств и является полной алгебраической системой.

Теорема 30. Если логической формуле P, не содержащей свободной переменной x, соответствует АК-объект Q, в схеме отношения которого отсутствует атрибут X, то АК-объект +X(Q) соответствует логической формуле x(P).

Теорема 31. Пусть интерпретацией логической формулы P(…, x, …) со свободной переменной x является C-система Q[…X…], у которой отсутствуют C-кортежи с пустыми компонентами в атрибуте X. Тогда C-система –X(Q) есть интерпретация логической формулы x(P).

Теорема 32. Пусть интерпретацией логической формулы P(…, x, …) со свободной переменной x является D-система Q[…X…], у которой отсутствуют D-кортежи с полными компонентами в атрибуте X. Тогда D-система –X(Q) есть интерпретация логической формулы x(P).

Теорема 33. Если АК-объекты SA и SB – интерпретации логических формул A и B, то общезначимость импликации A B равносильна соотношению SA G SB.

Теорема 34. Пусть посылки рассуждения выражены АК-объектами A1, ..., An и задан АК-объект B. Тогда B есть следствие A1, ..., An тогда и только тогда, когда

A1 G ... G An G B = .

Теорема 35. Пусть посылки рассуждения выражены АК-объектами A1, ..., An и задан АК-объект B. Тогда B есть следствие A1, ..., An тогда и только тогда, когда

(A1 G ... G An) G B.