Потоки вызовов и нагрузка (2023)
.pdf
Свойства простейшего потока вызовов (3)
Свойства простейшего потока вызовов (4)
Без доказательства отметим ещѐ одно интересное свойство простейшего потока: при суммировании большого числа независимы ординарных стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему.
Закон распределения вероятностей промежутков между вызовами простейшего потока
Поток вызовов задаѐтся функцией распределения zi промежутков между вызовами: F1(t) = P(zi<t). Найдѐм значения этой функции. Вероятность появления ровно k вызовов за время [0, t ) определяется выражением:
Свойства простейшего потока вызовов (5)
Вероятность того, что за промежуток [0, t ) не поступит ни одного вызова, то есть k=0 :
Функцию F1(t) можно трактовать как вероятность появления вызова за время t.
Вероятность противоположного события:
Свойства простейшего потока вызовов (6)
Функцию 1−F 1(t) можно трактовать как вероятность того, что за время t не появится ни одного вызова.
Так как простейший поток не обладает последействием, то появление вызова в момент ti−1 не влияет на появление вызова в дальнейшем. Поэтому
Отсюда:
Свойства простейшего потока вызовов (7)
Это распределение в литературе называют отрицательным экспоненциальным или показательным. Английский математик Дж. Кендалл предложил это распределение называть марковским в честь русского математика А. А. Маркова.
Графические зависимости функции распределения вероятностей F1(t) при фиксированных значениях λ .
Свойства простейшего потока вызовов (8)
Свойства простейшего потока вызовов (9)
Таким образом, простейший поток вызовов можно однозначно задавать либо распределением вероятностей
либо функцией
Математическое ожидание промежутка времени zi между двумя вызовами
Интеграл берѐтся по частям.
Свойства простейшего потока вызовов (10)
Марковское (показательное, (t) ) распределение обладает
следующим замечательным свойством: если промежуток времени, распределѐнный по показательному закону, уже длился некоторое время, то это не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет также показательным.
Следует отметить, что только показательный закон обладает этим свойством. Это свойство представляет собой, фактически, другую формулировку для «отсутствия последействия», которое является одним из основных свойств простейшего потока вызовов.
Свойства простейшего потока вызовов (11)
Потоки вызовов, которые создают абоненты в реальных условиях, подчиняются свойствам простейшего потока только при условии, если эти потоки создаются очень большим числом независимых источников нагрузки. Однако достаточно точные результаты при инженерных расчѐтах получаются при условии, если число источников сообщений N на 2-3 порядка больше удельной интенсивности потока:
Так, при λ =1-3 вызовах в час от одного абонента ГТС число
абонентов должно быть не менее 100. В этом случае при инженерных расчѐтах приближѐнно поток вызовов можно считать простейшим.
Поток освобождений