Потоки вызовов и нагрузка (2023)

Функции распределения (0,t)

Общий вид непрерывной функции распределения Pk (0, t) от t при k=const. и огибающей дискретного распределения

Pk (0, t) от k при t=const, λt=const.

Все три способа определения и задания потоков вызовов эквивалентны.

Основные свойства потоков вызовов

Стационарность потока. Поток вызовов называется

стационарным, если вероятность поступления k вызовов за промежуток времени [t0, t0+Δt) не зависит от t0 , а зависит лишь от длины интервала t : Pk (t0 , t0+ t) = const. при t = const. или Pk ( t ) = const. при t = const.

а) – стационарный поток; б) – не стационарный поток

Основные свойства потоков вызовов (2)

Ординарность потока. Поток вызовов называется

ординарным, если вероятность поступления более одного вызова в интервал времени [t0 , t0+Δt ) при t →0 и любом начальном моменте t0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем t .

Основные свойства потоков вызовов (3)

Последействие означает зависимость вероятностных характеристик потока от предыдущих событий.

Отсутствие последействия предполагает, что вероятность Pk (t0 ,t0+Δt) поступления k вызовов в интервал времени [t 0 ; t0+Δt ) не зависит от того, сколько вызовов и как эти вызовы поступали до момента времени t0 .

Поток вызовов является потоком с последействием, если вероятность поступления того или иного числа вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка.

Потоки вызовов могут обладать либо всеми, либо только некоторыми из этих свойств.

Характеристики потоков вызовов

Основными характеристиками потоков вызовов являются

ведущая функция потока, его интенсивность и параметр.

Пусть Λ(t) — математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервал [0,t) . Функцию Λ(t) называют ведущей функцией потока.

где n – число наблюдений;

ki (t ) – число вызовов, поступивших за интервал времени [0,t ) в i -й период наблюдений.

Характеристики потоков вызовов (2)

По определению мгновенной интенсивностью потока называют предел:

Для стационарного потока мгновенная интенсивность одна и та-же в любой момент времени в заданном интервале

Интенсивность ψ есть математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени.

Характеристики потоков вызовов (3)

Параметр потока есть плотность вероятности поступления вызовов в момент t. Вероятность не может быть больше 1. λ(t) может принимать любое положительное число. Параметр стационарного потока является постоянным, не зависящим от времени λ(t)=λ>0. Для любого стационарного потока всегда имеет место неравенство ψ λ . Если поток ещѐ и

ординарный, то ψ=λ, т.е. интенсивность потока численно равна параметру.

Простейший поток вызовов

Простейший поток вызовов

Простейшим потоком вызовов называется стационарный, ординарный поток без последствия.

Простейший поток вызовов полностью определяется и задаѐтся вероятностью поступления точно k вызовов за время

[0, t ) .

Обозначим эту вероятность Pk (t) при k = 0,1, 2, 3 ,..., и t > 0 .

Найдѐм выражение для Pk (t). Рассмотрим интервал времени

[0, t) и разделим его на n частей величиной t .

Простейший поток вызовов (2)

Вычислим вероятность того, что в малый промежуток времени t поступит хотя бы один вызов. По определению параметр поток в момент t есть предел отношения

Простейший поток является стационарным и для него λ(t)=λ. Следовательно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка при t → 0 можно считать, что вероятность поступления хотя бы одного вызова в промежуток времени t равна