Потоки вызовов и нагрузка (2023)
.pdfЗаконы распределения вероятностей случайных величин
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно – какое именно.
Случайные величины (СВ) могут быть
дискретными |
(например, |
число |
поступивших на |
АТС вызовов) |
или |
непрерывными (например, сила тока в электросети).
Числовые характеристики СВ
Закон распределения вероятностей СВ – соотношение между значениями СВ и соответствующими им вероятностями.
Основными характеристиками СВ x являются математическое ожидание Mx и дисперсия Dx. Пусть над СВ x проведено n
независимых измерений x1, x2, . . . , xn . Тогда состоятельной и несмещѐнной оценкой Mx является среднее арифметическое наблюдаемых значений:
Числовые характеристики СВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = |
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Состоятельная и несмещѐнная оценка |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
− |
|
|
|
|
дисперсии |
|
= |
|
= |
|
|
|
) |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оценка |
среднего |
|
|
квадратического |
||||||||
отклонения СВ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
Распределение Бернулли (биномиальное распределение)
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие В появляется с вероятностью p, то вероятность того, что событие В появится ровно i раз, вычисляется по формуле
P i,n = n ( − )− , |
|
P i,n =1. |
|
= |
|||
|
|
Распределение Бернулли
|
= |
! |
|
|
|||
! − ! |
|||
|
|
- число сочетаний из n по i.
Для вычисления вероятностей Pi можно воспользоваться следующей рекуррентной формулой
−
+ = (+)( − ) , i = 0, 1, …,n-1.
При i = 0 = ( − )
Распределение Бернулли
Математическое ожидание и дисперсия числа случайных величин
= np; = np (1-p).
Бернулли Якоб (1655-1705гг.) –швейцарский
математик.
К династии Бернулли принадлежат 9 крупных математиков и физиков.
Среди академиков Петербургской Академии наук — пятеро из семьи Бернулли.
Распределение Пуассона
На оси времени на интервале [0,t) случайным образом распределяются точки – моменты поступления вызовов, в каждый из которых занимается одна из свободных линий из общего пучка линий V.
Требуется найти вероятность Pi того, что на интервал [0,t) попадет точно i точек, т.е. будет занято i любых линий из V.
Распределение Пуассона
Требуется найти вероятность Pi того, что на интервал [0,t) попадет точно i точек, т.е. будет занято i любых линий из V.
|
|
= |
(λ ) |
−λ , |
|
|
|
= 1. i= 0,1,…,V |
|
|
|
||||||
|
|
! |
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение Пуассона |
|
справедливо при |
||||||
выполнении следующих условий:
Распределение Пуассона
-вероятность попадания числа точек на интервал [0,t) зависит только от длины этого интервала и не зависит от его положения на оси времени;
-события, состоящие в попадании того или иного
числа точек в неперекрывающиеся |
интервалы |
времени, независимы; |
|
- вероятность попадания на малый участок t двух и
более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки. Такой поток называется пуассоновским (простейшим).
Распределение Пуассона
Пусть длина интервала [0,t) равна средней длительности обслуживания одного вызова – . Величину в теории телетрафика называют
интенсивностью поступающей нагрузки и
обозначают A. Тогда распределение Пуассона примет вид:
|
|
= A |
−, |
|
|
|
= 1. i= 0,1,…,V |
|
! |
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|