Министерство связи и массовых коммуникаций Российской Федерации
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра сетей связи и систем коммутации
Учебно-методическое пособие
для практических занятий и выполнения курсовой работы
по дисциплине
ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА
для студентов, обучающихся по направлению подготовки
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи Профиль подготовки – Сети связи и системы коммутации Квалификация (степень) выпускника – академический бакалавр
Москва, 2015
План УМД 2014/2015 уч. г.
Учебно-методическое пособие
для практических занятий и выполнения курсовой работы
по дисциплине
ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА
для студентов, обучающихся по направлению подготовки
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи Профиль подготовки – Сети связи и системы коммутации Квалификация (степень) выпускника – академический бакалавр
Составитель: Пшеничников А.П., к.т.н., профессор
Рецензент: Степанов С.Н., д.т.н., профессор
Учебно-методическое пособие предназначены для практических занятий и выполнения курсовой работы по дисциплине
ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА
Издание утверждено решением Совета факультета «Сети и системы связи»
от 26 мая 2015 г. Протокол №9.
2
Содержание
Стр.
Тема 1. Законы распределения случайных величин………………………………….5
1.1.Основные определения……………………………………………………...5
1.2.Распределение Бернулли (биномиальное распределение)..………………5
1.3.Распределение Пуассона…………………………………………………….7
1.4.Распределение Эрланга…………………………………………….………..8
Тема 2. Свойства потоков вызовов. Характеристики потоков………..…………….10
Тема 3. Телефонная нагрузка, ее параметры и распределение………………...……13
3.1.Расчёт интенсивности нагрузки на входах коммутационного поля……...13
3.2.Распределение интенсивности нагрузки…………………………………...16
Тема 4. Метод расчета пропускной способности однозвенных полнодоступных включений при обслуживании простейшего потока вызовов с потерями.
Первая формула Эрланга……………………………………………………..21
Тема 5. Метод расчета полнодоступных включений при обслуживании примитивного потока вызовов с потерями. Распределение Энгсета……...25
Тема 6. Метод расчета полнодоступных включений при обслуживании простейшего потока вызовов с ожиданием …………………………………26
6.1.Основные показатели качества обслуживания……………………............26
6.2.Экспоненциальное распределение длительности обслуживания………...27
6.3.Постоянная длительность обслуживания…………………………………..28
Тема 7. Метод расчета однозвенных полнодоступных коммутационных схем при обслуживании потока с повторными вызовами…………….………….30
Тема 8. Методы расчета пропускной способности однозвенных неполнодоступных включений: формулы Эрланга, О’Делла,
Пальма – Якобеуса……………………………………………………………34
Тема 9. Метод Якобеуса для расчета пропускной способности двухзвенных
3
полнодоступных включений…………………………………………………37
Тема 10. Метод эффективной доступности расчета пропускной способности двухзвенных неполнодоступных включений…………………………….39
Тема 11. Метод вероятностных графов для расчета пропускной способности многозвенных коммутационных схем………………………………………41
Тема 12. Метод расчета сети с обходными направлениями………………………...47 12.1. Принцип построения сети с обходными направлениями………….…….47 12.2. Определение оптимального числа линий в прямом направлении………49
12.3.Метод расчета числа линий (каналов) при обслуживании вызовов избыточной нагрузки……………………………………………………….50
Тема 13. Оценка пропускной способности фрагмента мультисервисной сети связи……………………………………………………………………53
13.1.Состав оборудования фрагмента мультисервисной сети связи…...........53
13.2.Кодирование и качество передачи сообщений…………………….54
13.3.Расчёт пропускной способности абонентских шлюзов………..….59
13.4.Расчёт пропускной способности транспортных шлюзов………....61
13.5.Расчёт транспортного ресурса для передачи сигнальных
сообщений управления шлюзами…………………………………..61
13.6. Расчёт пропускной способности коммутаторов…………………...62
Литература……………………………………………………………………………...63
Приложение…………………………………………………………………………….64
Таблица П.1. Значения вероятности потерь первичных вызовов P и среднего
числа повторных вызовов |
C |
………………………………………………………….64 |
1 |
Таблица П.2. Значения коэффициентов |
|
и |
для расчета числа линий V по |
|
формуле О’Делла…………………………………………………..........69
Рис. П.1. Кривые Кроммелина при V=1……………………………………………...71
Рис. П.2. Кривые Кроммелина при V=2……………………………………………...72
4
Тема 1. Законы распределения вероятностей случайных величин
1.1.Основные определения
Внастоящем разделе рассмотрены некоторые понятия, которые применяются в теории телетрафика при описании систем коммутации: случайная величина (СВ), закон распределения СВ и ее основные числовые характеристики - математическое ожидание и дисперсия.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно – какое именно.
Случайные величины, принимающие отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными.
Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными.
Законом распределения вероятностей СВ называется соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.
Основными числовыми характеристиками СВ x являются математическое ожидание Mx и дисперсия Dx.
Пусть над величиной x проведено n независимых измерений, давших результаты x1 , x2 ,…, xn . Тогда в качестве состоятельной и несмещённой оценки для математического ожидания используют среднее арифметическое наблюдаемых значений:
mx = |
∑=1 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Состоятельная и несмещённая оценка дисперсии вычисляется по |
||||||||||
следующему выражению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( |
− |
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
=1 |
|
|
) |
. |
|
|
||
|
|
−1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оценка среднего квадратического отклонения СВ x вычисляется как |
||||||||||
корень квадратный из оценки дисперсии |
|
|
||||||||
|
= √ |
|
. |
|||||||
Рассмотрим некоторые законы распределения вероятностей СВ, наиболее часто используемые в теории телетрафика.
1.2. Распределение Бернулли (биноминальное распределение)
5
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие В появляется с вероятностью p, то вероятность того, что событие В появится ровно m раз, вычисляется по формуле
где
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n m |
|
n |
|
|
|
|
P |
|
= C |
m |
p |
m |
(1 |
p) |
, |
P |
1, |
||
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
m,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
m,n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
C |
m |
|
n! |
|
– число сочетаний из n по m. |
||||||||||
|
|
m! n |
m ! |
||||||||||||
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это распределение вероятностей называют биноминальным или
распределением Бернулли.
Пусть исследуется пучок из V линий (рис.1.1), каждая линия с вероятностью a может оказаться занятой и с вероятностью (1-a) – свободной. Тогда вероятность того, что в пучке из V линий окажется i любых линий занято, может быть определена из выражения
|
|
|
|
|
|
V |
|
P = C |
i |
i |
V i |
|
i |
|
|
|
a |
(1 a) |
, i = 0, 1, …, V , |
P |
=1. |
||
i |
V |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
1 |
|
1 |
2 |
Коммутационная |
2 |
|
||
N |
система |
V |
|
||
|
|
|
(1.1)
Рис.1.1. Схема коммутационной системы: N–число входов, V– число выходов (линий, каналов).
Распределение Бернулли справедливо, когда число независимых опытов, в рассматриваемом случае емкость пучка линий V, конечно и N≤V.
Для вычисления вероятностей Pi можно воспользоваться следующей рекуррентной формулой
(V i)a
Pi+1 = Pi (i +1)(1 a). i =0,1,…,v-1.
Значение 0 определяется из (1.1). При i = 0 0 = (1 − ) .
6
Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность занятия которых описывается распределением Бернулли, соответственно равны
Mi=Va; Di=Va(1-a).
1.3. Распределение Пуассона
Рассмотрим следующую задачу. На оси времени на интервале [0,t) случайным образом распределяются точки – моменты поступления вызовов, в каждый из которых занимается одна из свободных линий из общего пучка линий V.
Требуется найти вероятность Pi того, что на интервал [0,t) попадет точно i точек, т.е. будет занято i любых линий из V.
Обозначим λ -математическое ожидание числа вызовов, приходящихся на единицу длины интервала. Обычно за единицу длины интервала времени
принимается 1 час. Вероятность Pi выражается формулой
|
t |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
V |
|
i |
|
|
t |
|
i |
|
P |
|
e |
, |
P 1, |
i 0,1, , V . |
|
i! |
|
|||||
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.2)
Это выражение носит название распределения Пуассона. Распределение Пуассона справедливо при выполнении следующих условий:
-вероятность попадания того или иного числа точек на интервал [0,t) зависит только от длины этого интервала и не зависит от его положения на оси времени;
-события, состоящие в попадании того или иного числа точек в
неперекрывающиеся интервалы времени, независимы;
- вероятность попадания на малый участок t двух и более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.
Входящая в формулу (1.2) величина λt есть не что иное, как среднее число точек, приходящихся на интервал [0,t) (математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок). Пусть длина интервала [0,t) равна средней длительности обслуживания одного вызова –̅. Величину ̅в теории
7
телетрафика называют интенсивностью поступающей нагрузки и
обозначают A.
Тогда формула (1.2) может быть записана
P = |
Ai |
e A |
|
|
|
, i=0, 1, ..., V |
(1.3) |
||
i |
i! |
|
||
|
|
|
|
|
Для расчетов вероятности Pi |
можно использовать |
рекуррентную |
||
формулу
P |
= P |
A |
. |
|
|||
i+1 |
i |
i +1 |
|
|
|
||
Из (1.3) 0 = –.
i= 0,1, …, V–1.
(1.4)
Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределенные по закону Пуассона, равны
Mi=Di=A.
Распределение Пуассона можно применять для определения вероятностей Pi при условии, что N и V → ∞.
Распределение Пуассона можно получить из распределения Бернулли, если в последнем положить V→ ∞.
1.4.Распределение Эрланга
Втеории телетрафика широко применяется усеченное распределение Пуассона, связанное с формулой Эрланга
|
|
|
i |
|
|
|
|
A |
|
|
|
P = |
|
i! |
|
|
|
V |
|
|
|
j |
|
i |
|
A |
|||
|
|
|
|||
|
|
j! |
|||
|
j=0 |
|
|||
|
|
|
|
||
V
, i=0,1,…,V , Pi 1.
i 0
(1.5)
В(1.5) есть вероятность занятия i любых линий из V.
Враспределении Эрланга взяты первые V+1 значения из распределения Пуассона и нормированы так, чтобы сумма вероятностей была бы равна 1. Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее рекуррентное соотношение
8