2. Балансировка дерева после вставки:

Рассмотрим ситуации для узла k (нового узла), его родителя P, и деда G (родителя P):

Случай 1: Родитель красный, дядя красный

• перекрашиваем P и дядю в черный

• перекрашиваем G в красный

• перемещаем текущий узел k на уровень выше (на место G) и повторяем проверку.

Случай 2: Родитель красный, дядя черный

Тут возможны два подслучае, если родитель P красный, а дядя черный или отсутствует.

Подслучай 2.1: Левый-левый (LL)

K - левый потомок P, а P - левый потомок G.

• Выполянем правое вращение вокруг G.

• Перекрашиваем P в черный, G в красный

Подслучай 2.2: Левый-правый (LR)

K - правый потомок P, а P - левый потомок G.

• Выполняем левое вращение вокруг P.

• После вращения узел k станет левым потомком G, и ситуация сведется к случаю LL

Подслучай 2.3: Правый-правый (RR)

K - правый потомок P, а P - правый потомок G.

• Выполняем левое вращение вокруг G.

• Перекрашиваем P в черный, G в красный

Подслучай 2.4: Правый-левый (RL)

K - левый потомок P, а P - правый потомок G.

• Выполняем правое вращение вокруг P.

• После вращения узел k станет правым потомком G, и ситуация сведется к случаю RR.

Проверка корня: После всех преобразований корень всегда должен быть черным. Если в процессе балансировки он стал красным, перекрашиваем его в черный.

3. Удаление

Удаление узла из КЧ-дерева выполняется по стандартным правилам для двоичного дерева поиска:

1. Удаляемый узел — лист (не имеет потомков): просто удаляем узел.

2. Удаляемый узел имеет одного потомка: заменяем удаляемый узел его единственным потомком.

3. Удаляемый узел имеет двух потомков:

1. Находим наименьший узел в правом поддереве (преемник) или наибольший узел в левом поддереве (предшественник).

2. Копируем его значение в удаляемый узел.

3. Рекурсивно удаляем найденный узел (который будет либо листом, либо иметь одного потомка).

Проверка свойств КЧ-дерева:

1. Если удаляемый узел красный, просто удаляем его. Свойства дерева не нарушаются.

2. Если удаляемый узел черный: это может нарушить свойства дерева (например, количество черных узлов на пути к листу). Выполняем балансировку.

4. Балансировка дерева после удаления:

Рассмотрим ситуацию для узла k (сын удаленного узла), его родителя P и брата B:

Случай 1: Родитель P красный, остальные узлы черные:

• Перекрашиваем B в красный, а P в черный

Случай 2: Брат B черный, а его правый потомок красный:

Независимо от того, является ли P черным или красным:

• Выполняем вращение вокруг B.

• Перекрашиваем правый потомок в черный цвет

• Меняем цветами P и В

Случай 3: Брат B черный, его правый потомок черный, а левый потомок красный:

• Выполняем вращение левого потомка вокруг P так, чтобы поддерево B вытянулось в одну линию

• Меняем цветами левого потомка и B.

Случай 4: Брат B красный

• Перекрашиваем B в черный и P в красный

• Выполняем вращение P вокруг B.

Cлучай 5: Все узлы комбинации (брат B, его потомки, а также родитель P) черные.

• Перекрашиваем B в красный цвет.

• Если P не является корнем дерева, нужно продолжить наверх процесс восстановления свойств КЧ-дерева, совершая поиск соответсвующего случая, начиная со случая 1.