1.5 Зависимости первых и вторых производных от функций положения для входного звена для первого механизма.
Берём первую производную для первой системы уравнений. Рисунок 1.14
Рисунок 1. 14
Для нахождения углов ф3` и ф2`, воспользуемся системой Крамера. Рисунок 1.15.
Рисунок 1. 15
Для нахождения угла ф4`, возьмём первую производную по уравнению, которое получали выше, для нахождения угла ф4. Рисунок 1.16
Рисунок 1. 16
Записываем первую производную по выходной координате. Рисунок 1.17
Рисунок 1. 17
Найдём вторые производные. Для этого берём вторую производную для первой системы уравнений. Рисунок 1.18
Рисунок 1. 18
Воспользуемся системой Крамера. Рисунок 1.19
Рисунок 1. 19
Для нахождения угла ф4``, возьмём вторую производную по уравнению, которое получали выше, для нахождения угла ф4`. Рисунок 1.20
Рисунок 1. 20
Записываем вторую производную по выходной координате. Рисунок 1.21
Рисунок 1. 21
1.6 Сравнение полученных данных для первого механизма
На основании всех имеющихся данных, можем построить графики. Для проверки вычисленных производных, воспользуемся встроенной функцией производной. Таким образом получаем 16 графиков: первая строка – графики по выходных координатам и углам, вторая строка – аналог скорости (первая производная), третья трока – аналог ускорения (вторая производная). Рисунок 1.22
Рисунок 1. 22
Как видно из графиков производных, линии совпадаю, значит наши выражения, которые мы выводили выше, верны.
Для большей достоверности, сравним положения координат звеньев механизма аналитическим и графическим методами. Механизм будет находиться в расчётном положении при q=π/6. Все данные приведём в виде таблицы.
Таблица 1.1 Сравнение аналитического и графического метода.
Метод |
ф2 |
ф3 |
ф4 |
yc |
Аналитический |
150,737° |
262,576° |
97,424° |
493,294 |
Графический |
150,737° |
262,576° |
97,424° |
493,29 |
Все данные и выражения найдены правильно.
1.7 Решение групповых уравнений для второго механизма
Составим уравнения геометрического анализа (групповые уравнения), связывающие входные и выходные (групповые) координаты структурных групп для второго механизма. Все уравнения будут прописаны в программе MathCad. Рис. 1. 23.
Рисунок 1. 23
На рисунке 1.23 первая система относится к первой и к второй структурной группе, а вторая система, к первой и третьей структурной группе.
1.8 Решение групповых уравнений для второго механизма
Два первых уравнения первой системы возводим в квадрат и складываем. Далее принимаем разность двух углов, как общий угол ф32 и выражаем косинус этого угла. Рисунок 1.24
Рисунок 1. 24
Из тригонометрического тождества находим синус угла и выбираем со знаком “+”, потому что наш угол находится в первой четверти. Рисунок 1.25
Рисунок 1. 25
Подставляя ф3 в уравнения второй группы, получаем систему, состоящую из двух уравнении с двумя неизвестными. Для упрощения вычислений воспользуемся методом Крамера. Составляем первую матрицу для cos(ф2), вторую матрицу для sin(ф2) и найдём углы через определители. Рисунок 1.26
Рисунок 1. 26
Исходя из того, что мы нашли угол ф2, мы можем найти угол ф3, если выразим косинус и синус из первой системы уравнений. Рисунок 1.27
Рисунок 1. 27
Из второй системы уравнений для второй структурной группы можем найти угол ф4: из второго уравнения находим косинус угла, из тригонометрической суммы находим синус, а затем сам угол. Рисунок 1.28
Рисунок 1. 28
Найдя угол ф4, мы можем найти выходную координату yd. Рисунок 1.29.
Рисунок 1. 29