4 сем / лаба10 вар 11

Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого Институт машиностроения, материалов и транспорта

Высшая школа машиностроения

ОТЧЕТ по лабораторной работе № 10

Дисциплина: Вычислительная математика Тема: Приближенное численное интегрирование (Вариант 11)

Санкт-Петербург 2023 г.

Задание

Точность всех вычислений в задании – 10−4.

1.Найти точное значение ∫ ( ) .

2.Разбить заданный промежуток ; на интервалов ( = 12 ).

Перевести заданную функцию в дискретный аналог с шагом = − путем округления до заданной точности ее значений в узлах.

3.Рассчитать в Excel конечные разности для нахождения средних значений второй и четвертой производных в интервале интегрирования

4.Рассчитать в MathCAD значение интеграла для дискретно заданной функции по различным формулам приближенного интегрирования,

приведенным в теоретической части и определить точность полученных результатов для каждого метода.

5. Сравнить результаты приближенных расчетов в MathCAD с точным значением интеграла и найти относительные погрешности приближенного интегрирования каждым методом.

Рисунок 1 Задание первого варианта

Целью работы является закрепление знаний, полученных в лекционном курсе «Вычислительная математика» по разделу «Приближенное интегрирование», приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

Краткие теоретические сведенья

Задача приближенного интегрирования возникает для сложных аналитических функций или функций, заданных дискретными данными.

Методы численного интегрирования основаны на аппроксимации

2

определенного интеграла суммой составных площадей. Численное интегрирование в отличие от численного дифференцирования является устойчивой процедурой и имеет тенденцию снижения влияния погрешности исходных данных на конечный результат. В общем виде задача состоит в нахождении величины = ∫ ( ) .

Решение методом сеток в MathCAD

Задание пределов интегрирования, задание дискретного аналога функции и получение вектора y показаны на рисунке 2.

Рисунок 2 Задание исходных данных

В Exel рассчитываем конечные разности и находим средине значения второй и четвертых производных в интервале интегрирования, как показано

на рисунке 3.

3

Рисунок 3 Таблица в Excel

Метод левых и правых прямоугольников, а так же точность данного метода показано на рисунке 4.

Рисунок 4 Нахождение значения интеграла методом прямоугольников Метод трапеций и вычисление погрешности данного метода показано 5.

Рисунок 5 Нахождение значения интеграла методом трапеций Метод Симпсона и погрешность данного метода, а так же вычисление

погрешности по Рунге с новым шагом показано на рисунке 6. 4

Рисунок 6 Вычисление методом Симпсона

Вывод: в результате работы было найдено приближенное значение интегрирования заданной функции с заданными дискретными данными.

5