Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Матан_экзамен.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
3.38 Mб
Скачать

Вопрос 10

Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема: Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и . Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе. Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и ( существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

  • Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то . Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, . Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: . Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Вопрос 11

Площадь фигуры между графиком y = f(x), осью x и прямыми x = a и x = b:

S = ∫_a^b |f(x)|dx

Площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке 48, вычисляется по формуле

= (2)

Рисунок 48

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 3, x = 0.

Решение

Изобразим данную плоскую фигуру (рисунок 49).

По формуле (2) имеем

| =

Вопрос 12

Объём тела вращения вокруг оси Ox:

V = π∫_a^b [f(x)]^2 dx

Длина дуги y = f(x), x ∈ [a,b]:

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]^2) dx

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции (рисунок 50), вычисляется по формуле

(3)

Пример 3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 0, x = 3 вокруг оси Ox.

Решение

Вычертим данную фигуру (рисунок 51).

По формуле (3) будем иметь

| =