Вопрос 3
Пусть и = u(х) и v = v(x) дифференцируемые функции. Тогда для интегрирования может использоваться интегрирования по частям (integration by parts): integrate u dv = uv - integrate v du формула
. Доказательство.
Дифференциал произведения двух функций:
d(uv) = udv + vdu
Если и(х) и (х) равенство и получим: -дифференцируемы, то проинтегрируем
∫d(uv)= ∫udv+ ∫vdu ⇔ ∫udv = uv - ∫vdu
Замечания.
1) при нахождении интеграла формулу интегрирования по частям можно применять несколько раз, постепенно «улучшая» остающийся интеграл;
2) формула интегрирования по частям возможность найти интегралы вида -единственная
integrate P{n}(x) * ф(x) dx ,
где Р{n}(х) - многочлен степени п, ф(x) - показательная, логарифмическая, тригонометрическая или обратная тригонометрическая функция;
3) с помощью формулы интегрирования находятся также циклические интегралы: по частям
∫α ^ (ax) * cosβx dx , ∫α^ (ax) * sinβ*x dx
Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям может быть разбита на следующие три группы.
1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
Ln x; arcsin x; arcos x; arctg x; arcctg x; ln2x; ln(x); arcsin2x;…
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.
Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.
2) Ко второй группе относятся интегралы вида
,
,
,
,
где a,b,, ,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n N.
При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям n раз.
3) К третьей группе относятся интегралы вида:
,
,
,
,
,
,
Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.
Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.
Вопрос 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется отношение 2-х многочленов, т.е. функция вида Pm(x)/Pn(x)
где Р(х), Ро(х) — многочлены степени т и п соответственно.
Если т <п, то рациональная дробь называется правильной.
В противном случае (т.е. если т≥ п) дробь называется неправильной.
Неправильная рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
Pm(x)/Pn(x) = Q(x)+ Pr(x)/Pn(x)
где Q(x) - некоторый многочлен степени т - п, Pr(x) — многочлен степени г< n. ( многочлены Q(x) и Р₁(х) получаются в результате деления с остатком Рm(х) на Рn(х))
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Простейшими рациональными дробями
I, II, III, IV типа называются соответственно правильные дроби вида A/(x+a), A (x+a)^m, (Ax + B)/(x ^ 2 + bx + c), (Ax + B)/((x ^ 2 + bx + c) ^ m)
где D = b ^ 2 - 4c < 0 , т-натуральное число (m > 1)
1) Интегрирование простейших дробей І типа:
∫ A/(x + a) dx = A ∫1/(x + a) dx = A ∫1/(x + a) d(x + a) = A * ln|x + a| + C
2) Интегрирование простейших дробей II типа:
∫A/((x + a) ^ m) dx = A∫1/((x + a) ^ m) d(x + a) =
3)Интегрирование простейших дробей III типа:
РЗУ.Р
integrate (Ax + B)/(x ^ 2 + bx + c) dx
D = b ^ 2 - 4c < 0
начала необходимо выделить полный квадрат в знаменателе:
TEOPEMA (o разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей),
Любая правильная рациональная дробь единственным образом представима в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей.
При этом между слагаемыми этой суммы и множителями в разложении (2) имеет место следующее соответствие: (x - a) ^ k множителю знаменателя вида соответствует cумма из к простейших дробей вида
A_{1}, A_{2} ,...,A k - некоторые числа;
каждому неразложимому множителю вида (x ^ 2 + bx + c) ^ t Cответствует сумма из t простейших дробей
где B_{1} , B_{2} , ..., B_{t} , C_{1} , C_{2} , ., C_{t} - некоторые числа.
Пример
