Исследование формы 3-х осного эллипсоида методом сечений плоскостью XOY

Исследование формы 3-х осного эллипсоида методом сечений плоскостью XOY.

См. файл "Калькулятор расчёта уравнений семейства кривых сечений 3-х осного эллипсоида"

Задано: эллипсоид с полуосями: ; ;

Отложим по осям X, Y, Z в изометрии полуоси заданного эллипсоида . Они будут являться полуосями , , сопряжённых диаметров эллипсов в соответствующих главных плоскостях и равны по величине полуосям заданного эллипсоида.

I. Рассчитаем и построим эллипс в плоскости XOZ при Cz=0 .

По теореме Аполлония: (1)

(2)

Где ; полуоси сопряжённых диаметров

; полуоси искомого эллипса главного сечения XOZ

- острый угол между полуосью и осью Хд

- острый угол между полуосью и осью Хд

Т.к. угол между осями изометрии равен 120°, то

-1-

Решаем систему уравнений ; (3) подставляем (3) в (2)

; заменим и приведём к виду ;

; ; ;

Подставляем численные значения, получаем: ; .

Чертим эллипс в декартовых координатах, применив параметрическое уравнение эллипса:

здесь задаваемый параметр.

Теперь находим положение полуосей сопряжённых диаметров полученного эллипса, для этого решим системы уравнений:

(4) ; ; ; ; получаем : , : между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью полученного эллипса.

(5) ; : подставляем, получаем : , ; между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью полученного эллипса.

Убираем все вспомогательные линии и совмещаем полуось сопряжённого диаметра эллипса с осью X в изометрии путём поворота на угол . ;

-2-

Для нахождения полуоси сопряжённого диаметра искомого эллипса из семейства кривых сечений эллипсоида при переменном фиксированном параметре Cz=15 решим систему уравнений: ;(1) (2); подставляем(2) в (1) получаем: (3); подставляем, получаем:

после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение с коэффицентами;

решаем относительно , обозначим его т.е.первое сечение XOZ

(4) здесь и далее все численные значения даны при следующих значениях см. табл. 1 (значения до 7 знака приведены для точной проверки искомых уравнений семейства кривых сечений эллипсоида); подставим в уравнение (4) развёрнутые коэффиценты, выделим и введём новые обозначения для упрощения расчётов.

плоскость1		φ1	30,0000000
XОZ		A	0,5773503
a	70,0000000	Cz	15,0000000
с	30,0000000	(АА)1	900,0000000
aи	71,8252838	(ВВ)1	0,0000000
си	25,3205174	(СС)1	-2480625,0000000
w1	34,9673256	a1(Сz)	60,6217783

табл. 1

=1800,0000000

=13230000,0000000

=-13230000,0000000

=11906999999,9999000

=0,0000000

=52,5000000; =-52,5000000

=105,0000000; =60,6217783; найдена первая полуось сопряжённого диаметра искомого эллипса из семейства кривых сечений эллипсоида при переменном фиксированном параметре Cz=15.

-3-

II. Рассчитаем и построим эллипс в плоскости YOZ при Cz=0.

По теореме Аполлония: (1)

(2)

Где ; полуоси сопряжённых диаметров

; полуоси искомого эллипса главного сечения XOZ

- острый угол между полуосью и осью Хд

- острый угол между полуосью и осью Хд

Т.к. угол между осями изометрии равен 120°, то

Решаем систему уравнений ; (3) подставляем (3) в (2)

; заменим и приведём к виду ;

; ; ;

Подставляем численные значения, получаем: ; .

Чертим эллипс в декартовых координатах, применив параметрическое уравнение эллипса:

здесь задаваемый параметр.

Теперь находим положение полуосей сопряжённых диаметров полученного эллипса, для этого решим системы уравнений:

(4) ; ; ; ; получаем : , : между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью полученного эллипса.

(5) ; : подставляем, получаем : , ; между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью полученного эллипса.

-4-

Убираем все вспомогательные линии и совмещаем полуось сопряжённого диаметра эллипса с осью Y в изометрии путём поворота на угол . ;

Для нахождения полуоси сопряжённого диаметра искомого эллипса из семейства кривых сечений эллипсоида при переменном фиксированном параметре Cz=15 решим систему уравнений: ;(1) (2); подставляем(2) в (1) получаем: (3); получаем:

после преобразований получим квадратное уравнение с коэффицентами;

решаем относительно , обозначим его т.е.второе сечение YOZ

(4) см. табл. 2 ; подставим в уравнение (4) развёрнутые коэффиценты, выделим и введём новые обозначения для упрощения расчётов.

плоскость2		φ2	-30,0000000
YОZ		A	-0,5773503
b	50,0000000	Cz	15,0000000
с	30,0000000	(АА)2	900,0000000
bи	52,882734	(ВВ)2	0,0000000
си	24,5644945	(СС)2	-1265625,0000000
w2	139,5914411	b1(Сz)	43,3012702

табл. 2

-5-

=1800,0000000

=13230000,0000000

=-13230000,0000000

=11906999999,9999000

=0,0000000

=37,5000000; =-37,5000000

=75,0000000; =43,3012702; найдена вторая полуось сопряжённого диаметра искомого эллипса из семейства кривых сечений эллипсоида при переменном фиксированном параметре Cz=15.

III. Рассчитаем и построим эллипс в плоскости XOYпри Cz-0.

По теореме Аполлония: (1)

(2)

Где ; полуоси сопряжённых диаметров

; полуоси искомого эллипса главного сечения XOY

- острый угол между полуосью и осью Хд

- острый угол между полуосью и осью Хд

Т.к. угол между осями изометрии равен 120°, то

Решаем систему уравнений ; (3) подставляем (3) в (2)

; заменим и приведём к виду ;

; ; ;

Подставляем численные значения, получаем: ; .

Чертим эллипс в декартовых координатах, применив параметрическое уравнение эллипса:

здесь задаваемый параметр.

-6-

Теперь находим положение полуосей сопряжённых диаметров полученного эллипса, для этого решим системы уравнений:

(4) ; ; ; ; получаем : , : между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью полученного эллипса.

(5) ; : подставляем, получаем : , ; между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью полученного эллипса.

Убираем все вспомогательные линии и совмещаем полуось сопряжённого диаметра эллипса с осью X в изометрии путём поворота на угол . ;

Таким образом, мы имеем все данные для уравнения семейства кривых сечений эллипсоида при любом допустимом интервале Сz;

1.полуоси и сопряжённых диаметров искомого эллипса из семейства кривых сечений эллипсоида при переменном фиксированном параметре Cz (из разделов I, II)

2. полуоси и угол поворота (из раздела III.)

-7-

I. Уравнение семейства кривых сечений эллипсоида в параметрическом виде:

II. Уравнение семейства кривых сечений эллипсоида в каноническом виде:

III. Уравнение семейства кривых сечений эллипсоида в общем виде:

Проверка каждого из уравнений приведена в файле "Калькулятор расчёта уравнений семейства кривых сечений 3-х осного эллипсоида"

-8-