математика экзамен

Быстрый Переход

1.Мнимая единица. Степени мнимой единицы.

2.Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

3.Изображение комплексного числа на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

4.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

5.Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.

6.Предел переменной величины. Свойства пределов.

7.Раскрытие неопределенностей вида [0/0], [∞-∞], [∞/∞].

8.Производная функции. Правила дифференцирования.

9.Сложная функция и её производная.

10.Производная второго порядка. Физический смысл первой и второй производной. 11.Таблица производных. Дифференциал функции.

12.Гиперболические функции и их производные.

13.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.

14.Монотонность функции. Признаки возрастания, убывания.

15.Экстремум функции. Исследование функции на экстремум.

16.Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

17.Точки перегиба графика функции. Признак существования точек перегиба. 18.Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. 19.Неопределённый интеграл и его свойства.

20.Таблица формул интегрирования.

21.Методы решения неопределённого интеграла: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, интегрирование по частям.

22.Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определённого интеграла.

23.Методы решения определённого интеграла: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, интегрирование по частям.

24.Геометрический смысл определённого интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

25.Дифференциальные уравнения. Порядок ДУ. Общее и частное решения. Задача Коши. Простейшее ДУ первого порядка.

26.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Алгоритм решения.

27.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Алгоритм решения. 28.Дифференциальные уравнения второго порядка. Простейшие ДУ второго

порядка. Задача Коши.

29.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Алгоритм решения. Задача Коши.

30.Определение матрицы, виды матриц. Размерность матрицы, единичная матрица, транспонированная матрица.

31.Действия над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число, произведение.

32.Определитель матрицы второго и третьего порядка. Свойства определителей. 33.Формулы Крамера. Решение систем двух линейных уравнений с двумя

неизвестными по формулам Крамера.

34.Решение систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера.

35.Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 36.Определение вектора. Длина вектора. Действия над векторами. 37.Координаты вектора. Действия над векторами, заданными координатами. 38.Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Скалярный квадрат. Угол между векторами. 39.Длина вектора. Расстояние между точками.

40.Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой и его частные случаи. 41.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей

через две точки. Уравнение прямой в отрезках. 42.Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

43.Координаты середины отрезка. Расстояние от точки до прямой.

44.Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

45.Окружность. Каноническое уравнение окружности.

46.Эллипс. Каноническое уравнение эллипса с фокусами на оси OX и оси OY. Эксцентриситет эллипса.

47.Гипербола и уравнение гиперболы (с фокусами на оси OX и оси OY). Эксцентриситет и асимптоты гиперболы.

48.Равносторонняя гипербола и её уравнение.

49.Парабола. Уравнение параболы с вершиной в начале координат. 50.Уравнение параболы со смещённой вершиной.

@vcvvtw

1. Мнимая единица. Степени мнимой единицы.

Мнимая единица (обозначается как i) — это математический объект, который вводится для расширения множества действительных чисел до комплексных. Она определяется как число, квадрат которого равен −1:

Степени мнимой единицы повторяются циклически: i, -1, -i, 1

•Степени:

•i¹ = i

•i² = -1

•i³ = i² * i = -1 * i = -i

•i = (i²)² = (-1)² = 1

•i = i * i = 1 * i = i

•i = i * i² = 1 * (-1) = -1

•i = i * i³ = 1 * (-i) = -i

•i = (i )² = 1² = 1

•Комплексные числа:

Мнимая единица используется для построения комплексных чисел, которые имеют вид a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица

2.Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Комплексное число в алгебраической форме записывается как z = a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица (такая, что i² = - 1). Число a называется действительной частью, а b - мнимой частью комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1.Сложение: Чтобы сложить два комплексных числа, складываются их действительные и мнимые части отдельно:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

1.Вычитание: Чтобы вычесть два комплексных числа, вычитаются их действительные и мнимые части отдельно:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.

1.Умножение: Умножение выполняется по правилу умножения многочленов, учитывая, что i² = -1:

(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i.

1. Деление: Для деления комплексных чисел умножают числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю:

z1 / z2 = (a + bi) / (c + di) = ((a + bi) * (c - di)) / ((c + di) * (c - di)) = ((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c² + d²).

Пример:

Пусть z1 = 2 + 3i и z2 = 1 - i.

•z1 + z2 = (2 + 1) + (3 - 1)i = 3 + 2i.

•z1 - z2 = (2 - 1) + (3 - (-1))i = 1 + 4i.

•z1 * z2 = (2 * 1 - 3 * (-1)) + (2 * (-1) + 3 * 1)i = (2 + 3) + (-2 + 3)i = 5 + i.

•z1 / z2 = ((2 + 3i) * (1 + i)) / ((1 - i) * (1 + i)) = (2 + 2i + 3i + 3i²) / (1 - i²) =

(2 + 5i - 3) / (1 + 1) = (-1 + 5i) / 2 = -0.5 + 2.5i

3.Изображение комплексного числа на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

Для изображения комплексного числа на плоскости необходимо построить точку с координатами (x; y), где x и y соответственно равны действительной и мнимой частям заданного комплексного числа. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось Ox называется действительной осью ,а ось Oy — мнимой осью. Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости числа z1 = 1 — 3i, z2 = 4 + i, z3 = 5, найти их модули и аргументы.

Согласно теоретической сноске выше, имеем, что числу z1 = 1 -3i соответствует точка с координатами (1; -3), z2 = 4 + i — точка (4; 1), а комплексному числу z3 = 5 соответствует точка с координатами (5; 0).

Модуль комплексного числа:

Модуль комплексного числа z = a + bi обозначается |z| и вычисляется по формуле:

`|z| = √(a² + b²) `

Геометрически, модуль комплексного числа представляет собой длину отрезка, соединяющего начало координат с точкой, представляющей комплексное число на плоскости.

Аргумент комплексного числа:

Аргумент комплексного числа z = a + bi, обозначается arg(z) или φ, и представляет собой угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим начало координат с точкой, представляющей z. Аргумент определяется с точностью до слагаемого 2πk, где k - целое

число. Обычно аргумент выбирают в интервале (-π, π] или [0, 2π).

Вычисление аргумента зависит от знаков a и b:

•Если a > 0, то φ = arctg(b/a).

•Если a < 0 и b >= 0, то φ = arctg(b/a) + π.

•Если a < 0 и b < 0, то φ = arctg(b/a) - π.

•Если a = 0 и b > 0, то φ = π/2.

•Если a = 0 и b < 0, то φ = -π/2.

•Если a = 0 и b = 0, то аргумент не определен.

4.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа позволяет представить его в виде z = r(cos φ + i sin φ), где r - модуль комплексного числа, а φ - его аргумент. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме упрощаются при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.

1. Тригонометрическая форма комплексного числа:

Любое комплексное число z = a + bi (где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица) можно представить в тригонометрической форме.

•Модуль:

r = |z| = √(a² + b²). Модуль - это расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число на комплексной плоскости.

•Аргумент:

φ = arg(z). Аргумент - это угол между положительным направлением вещественной оси и вектором, соединяющим начало координат с точкой, изображающей комплексное число. Он определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 2πk, где k - целое число. Обычно выбирают

главное значение аргумента, принадлежащее интервалу (-π, π]. Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа: z = r(cos φ + i sin φ).

2.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

•Умножение:

Если z = r (cos φ + i sin φ ) и z = r (cos φ + i sin φ ) , то z * z = r r [cos(φ + φ ) + i sin(φ + φ )]. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

•Деление:

Если z ≠ 0, то z / z = (r /r )[cos(φ - φ ) + i sin(φ - φ )]. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

•Возведение в степень:

Если z = r(cos φ + i sin φ), то zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ)). Это следствие формулы Муавра.

•Извлечение корня:

Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений: z^(1/n) = r^(1/n) [cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)]

где k = 0, 1, 2, ..., n-1.

6. Предел переменной величины. Свойства пределов.