Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра комплексной информационной безопасности электронновычислительных систем (КИБЭВС)

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Отчет по лабораторной работе №4 по дисциплине «Численные методы»

Студент гр. 733-1

_______Сметанников Д.Е

Принял:

ст.преп. каф. КИБЭВС

_______Катаева Е.С

Томск 2024

2

1Введение

Цель работы – посвоить вычислительные методы нахождения определенного интеграла и исследовать точность вычислений при разном числе разбиений; освоить и изучить точность методов численного дифференцирования; изучить методы группы Рунге-Кутта для численного решения дифференциального уравнения первого порядка (задачи Коши).

Вариант задания представлены на рис. 1-3

Рисунок 1 — Задание 1

Рисунок 2 — Задание 2

Рисунок 3 — Задание 3

3

2Ход работы

Для первого задания необходимо составить программу, вычисляющую его значения следующими методами:

• методом левых прямоугольников;

• методом правых прямоугольников;

• методом трапеций;

• методом Симпсона.

Задать числа разбиений следующие: 6, 40, 120, 400. Формула для каждого метода представлена на рисунках 4-7. Результаты работы представлены в таблице 1.

Листинг программы представлен в приложении А.

Рисунок 4 — метод левых прямоугольников

Рисунок 5 — метод правых прямоугольников

4

приближение, так как форма трапеций лучше повторяет график функции.

4. Метод Симпсона: улучшает точность, применяя параболы для приближения функции. Использует значения функции в левой, правой и средней точках каждого промежутка, создавая "дугу", которая ближе к кривой функции. Этот метод обычно даёт наиболее точный результат при большом числе промежутков.

Таблица 1 — Результаты

Вывод: предпочтительным методом для меня является метод Симпсона. Он является наиболее точным среди численных методов интегрирования, так как использует параболическое приближение графика функции. Он требует больше вычислений, но даёт лучшие результаты для гладких функций. Для простоты можно использовать метод трапеций, если высокая точность не критична

Для второго задания необходимо составить программу, вычисляющую производную функции в любой точке с помощью левой, правой и центральной разностной производных при расстоянии между точками h = 0.1.

Формулы представлены на рисунках 8-10. Результаты работы представлены в таблице 2. Листинг программы представлен в приложении Б.

6

значением, можно заметить, что центральная разностная производная даёт наибольшую точность, так как она учитывает значения функции с обеих сторон точки. Левая и правая разностные производные менее точны и могут заметно отклоняться от точного значения, особенно при небольших значениях h. Центральная разностная производная является более предпочтительной для приближённых вычислений, так как её симметричность уменьшает ошибку. Для значений, близких к реальным производным, метод центральных разностей является оптимальным выбором среди простых численных методов.

Для третьего задания необходимо составить программу, с помощью

•̃1( ), = 1, … ,20 – методом Эйлера (Рунге-Кутта 1-го порядка)

•̃2( ), = 1, … ,20 – методом Рунге-Кутта 2-го порядка

•̃4( ), = 1, … ,20 – методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Формулы представлены на рисунках 11-13.

Результаты работы представлены в таблице 3.

График представлен на рисунке 14, где красный — Метод Эйлера, розовый

—Метод Рунге-Кутта 2-го порядка, зеленый — Метод Рунге-Кутта 4-го

порядка, желтый — точное решение.

Листинг программы представлен в приложении В.следующих методов определяющую последовательность точек:

Рисунок 11 — формула метода Эйлера

8

использует несколько промежуточных значений наклона, чтобы точно определить новое значение функции на каждом шаге.

Вывод: Метод Эйлера прост и быстр, но даёт неточные результаты, особенно на больших интервалах или при сложных функциях. Метод РунгеКутта 2-го порядка значительно улучшает точность по сравнению с Эйлером, но всё ещё может давать погрешность при больших шагах. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка является самым точным среди этих трёх и лучше всего подходит для задач, где требуется высокая точность. Однако он требует больше вычислений, поэтому его стоит использовать, когда вычислительные ресурсы позволяют. В итоге, выбор метода зависит от необходимой точности и доступных ресурсов: Эйлер — для быстроты, Рунге-Кутта 4-го порядка — для точности.

Таблица 3 — Результаты

10