Суммы:

n

S0=∑ 1

i=1

n

S1=∑ xi

i=1

n

S2=∑ xi2

i=1

n

S3=∑ xi3;

i=1

n

S4=∑ xi4;

i=1

n

S y=∑ yi;

i=1

n

Sxy =∑ xi yi; i=1

n

Sx2 y=∑ xi2 yi. i=1

Система уравнений:

{a S4 +b S3 +c S2=Sx2 y a S3 +b S2+c S1=Sxy a S2+b S1+c S0=S y

Результат работы программы представлен на рисунке 5.

11

Рисунок 5 — Результат работы программы

Уравнения полученных функций: 6,9396x^2 + 5,6083x + -6,2707 -0,3885x^2 + 2,3349x + 0,4531 0,0844x^2 + -0,3384x + 0,2744

Совместные графики функции и узлов представлены на рисунках 6.1-6.3.

12

Рисунок 6.1 – График y1

13

Рисунок 6.2 – График y2

14

Рисунок 6.3 – График y3

15

По итогам работы для каждой заданной последовательности точек составим сводные таблицы результатов (таблицы 3-3.2).

Ниже представлены сводные таблицы (таблицы 3.3-3.5) результатов, в которой указаны вычисленные значения и соответствующие погрешности для каждой функции.

16

Цель интерполяции — обеспечить точное совпадение с исходными значениями функции в заданных точках, что полезно для табличных данных или дискретных измерений, требующих высокой точности.

Аппроксимация, напротив, сглаживает данные и лучше подходит для анализа общего поведения функции, особенно при наличии погрешностей.

Выбор метода зависит от вида функции: для функций с резкими изменениями интерполяция даёт точные значения в узлах, но на прогнозных

17

точках может иметь большие отклонения. Для гладких функций аппроксимация лучше отражает общую тенденцию и обеспечивает меньшие погрешности.

18

Заключение

В лабораторной работе изучены интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяция, с помощью полинома Лагранжа, обеспечивает точные значения в узловых точках, но может давать большие отклонения вне их. Аппроксимация методом наименьших квадратов лучше отражает общую тенденцию функции и подходит для данных с погрешностями, особенно для предсказания значений вне узлов. Выбор метода зависит от задачи: интерполяция нужна для точности в конкретных точках, аппроксимация — для анализа общей тенденции.

19

Приложение А (обязательное)

Код для задания 1

using System; using System.Linq;

class LagrangeApproximation

{

private double[] xValues = { 0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8 };

private double[] y1Values = { -5.947752121, -4.267378922, -3.099338148, -0.258908702, 2.262736748, 3.550669271, 9.951284915, 16.32168104, 20.48808119, 31.18690729, 29.92614139, 40.72776343, 44.88657217, 55.84592817, 63.88514297 };

private double[] y2Values; private double[] y3Values;

public LagrangeApproximation()

{

y2Values = xValues.Select(x => Math.Sqrt(5.99*x)).ToArray(); y3Values = xValues.Select(x => Math.Cos(5.44 * x)).ToArray();

}

public double LagrangeInterpolate(double x, double[] yValues)

{

double result = 0.0;

if (x < xValues[0] || x > xValues[xValues.Length - 1])

{

20