1Введение

Цель работы – освоить методы отделения и уточнения решения систем нелинейных уравнений

Вариант задания представлен на рис. 1

Рисунок 1 — Задание

2Ход работы

Для начала необходимо построить график для следующей системы:

График представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 — График системы уравнений

В результате построения графика можно заметить, что существую всего

два корня, находящиеся в диапазонах:

−4.2 ≤ ≤ −0.4 −0.2 ≤ y ≤ 0.6

Само решение будет проводиться методом Ньютона через матрицы, реализованным кодом. Результат выполнения программы можно наблюдать на рисунке 2.

Рисунок 2 — Результат работы Код программы можно наблюдать в приложении А

Заключение

В результате выполнения данной лабораторной работы были освоены отделения и уточнения решения систем нелинейных уравнений.

Приложение А (обязательное)

Код для задания 1

class Program

{

static double[,] Jacobian(Func<double[], double>[] f, double[] x, double h)

{

int n = x.Length;

double[,] J = new double[n, n];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

double[] x_forward = (double[])x.Clone(); x_forward[j] += h;

double[] x_backward = (double[])x.Clone(); x_backward[j] -= h;

J[i, j] = (f[i](x_forward) - f[i](x_backward)) / (2 * h);

}

}

return J;

}

static double[] GaussSolve(double[,] A, double[] b)

{

int n = A.GetLength(0);

double[] x = new double[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

int maxRow = i;

for (int k = i + 1; k < n; k++)

{

if (Math.Abs(A[k, i]) > Math.Abs(A[maxRow, i])) maxRow = k;

}

for (int j = 0; j < n; j++)

{

double temp = A[i, j]; A[i, j] = A[maxRow, j]; A[maxRow, j] = temp;

}

double tempB = b[i]; b[i] = b[maxRow]; b[maxRow] = tempB;

for (int k = i + 1; k < n; k++)

{

double factor = A[k, i] / A[i, i]; for (int j = i; j < n; j++)

{

A[k, j] -= factor * A[i, j];

}

b[k] -= factor * b[i];

}

}

for (int i = n - 1; i >= 0; i--)

{

x[i] = b[i] / A[i, i];

for (int k = i - 1; k >= 0; k--)

{

b[k] -= A[k, i] * x[i];

}

}

return x;

}

static (double[], int) NewtonMethod(Func<double[], double>[] f, double[] x0, double tol, int maxIter)

{

int n = x0.Length;

double[] x = (double[])x0.Clone(); double h = 1e-5;

for (int iter = 0; iter < maxIter; iter++)

{

double[] F = new double[n]; for (int i = 0; i < n; i++)

{

F[i] = -f[i](x);

}

double[,] J = Jacobian(f, x, h); double[] deltaX = GaussSolve(J, F);

bool stop = true;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (Math.Abs(deltaX[i]) >= tol || Math.Abs(F[i]) >= tol)

{

stop = false; break;

}

}

if (stop)

return (x, iter + 1);

for (int i = 0; i < n; i++)

{

x[i] += deltaX[i];

}

}

throw new Exception("Метод Ньютона не сошелся за указанное число итераций");

}