ЛР1 / ЧМ_Л1 финал
.odtМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем (КИБЭВС)
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
Отчет по лабораторной работе №1
по дисциплине «Численные методы»
Студент гр. 733-1
_______Сметанников Д.Е
Принял:
ст.преп. каф. КИБЭВС
_______Катаева Е.С
Содержание
1 Введение 3
2 Ход работы 4
Заключение 8
Приложение А 9
Приложение Б 11
Введение
Цель работы – освоить методы решения систем линейных
алгебраических уравнений и решения нелинейных уравнений 𝐹(𝑥) = 0 с одной
переменной.
Варианты заданий представлены на рис. 1
Р
исунок
1 — Задания
Ход работы
Первым заданием является написание кода для программы, реализующей метод Зейделя, и его проверка на тестовой и индивидуальных системах.
Результаты выполнения кода для каждой из систем можно наблюдать на
рисунках 2 и 3.
Рисунок
2 — Результат работы тестового
задания
Рисунок 3 — Результат работы индивидуального задания
Таблица 1
|
Начальная точка |
Число итераций |
Решение |
Проверочная система |
XO=(0,0,0)T |
3 |
X=(1, 1, 1)T |
Индивидуальная система |
XO=(0,0,0)T |
5 |
X=(0.263, 1.323, -0.092)T |
Второе задание включает в себя реализацию кода, который должен
решить нелинейное уравнение. Само решение происходит в 2 этапа, а именно
этапы отделения и уточнения корня.
Первым делом построим график функции, который можно наблюдать на
рисунке 4.
Рисунок 4 — График проверочной функции
На графике функции x^2+4x-5 можно наблюдать пересечение с осью абсцисс в промежутках [-6;-4] и [0;2], следовательно на данных отрезках имеются корни данной функции. В результате реализации кода были получены следующие корни: -5 и 1.
Результаты выполнения кода для можно наблюдать на рисунке 5.
Рисунок 5 — Результат работы тестового задания
Далее, мы также строим график, но уже для индивидуальной функции 0.8x^2+0.46x+0.01. График функции можно наблюдать на рисунке 6.
Рисунок 6 — График индивидуальной функции
Исходя из графика можно понять, что функция имеет 2 корня на промежутках [-0.6, -0.5] и [-0.1, 0]. В результате реализации кода были получены следующие корни: -0.552 и -0.021.
Результаты выполнения кода для можно наблюдать на рисунке 7.
Рисунок 7 — Результат работы индивидуального задания
Код программы можно наблюдать в приложении Б
Таблица 2
|
Начальная точка |
Число итераций для каждого корня |
Решение |
Метод Ньютона |
XO=(-0,55, -0,05)T |
1,1 |
X=(-0,552, -0,021)T |
Метод простой итерации |
XO=(-0,55, -0,05)T |
1,1 |
X=(-0,552, -0,021)T |
Заключение
В результате выполнения данной лабораторной работы были освоены
методы решения алгебраических уравнений и решения нелинейных уравнений 𝐹(𝑥) = 0 с одной переменной.
Приложение А
(обязательное)
Код для задания 1
double[,] k =
{
{-10.28, 4.83, -5.27}, //{ 100, 2, 3},
{2.7, -4.33,0.02}, //{1, 100, 3},
{8.53,1.76,-12.94} //{1,2,100}
};
double[] b = { 4.17, -5.02, 5.76 }; /*{ 105,104,103 };*/
double[] x0 = { 0, 0, 0 };
double[] prevX = new double[3];
double accuracy = 0.001;
int iterations = 0;
bool running = true;
while (running)
{
prevX[0] = x0[0];
prevX[1] = x0[1];
prevX[2] = x0[2];
x0[0] = (b[0] - k[0, 1] * prevX[1] - k[0, 2] * prevX[2]) / k[0, 0];
x0[1] = (b[1] - k[1, 0] * x0[0] - k[1, 2] * prevX[2]) / k[1, 1];
x0[2] = (b[2] - k[2, 0] * x0[0] - k[2, 1] * x0[1]) / k[2, 2];
if (Math.Abs(x0[0] - prevX[0]) < accuracy &&
Math.Abs(x0[1] - prevX[1]) < accuracy &&
Math.Abs(x0[2] - prevX[2]) < accuracy)
{
Console.WriteLine($"Система решена за {iterations + 1} итераций.");
running = false;
}
else
{
iterations++;
}
}
Console.WriteLine("Решение:");
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
Console.WriteLine($"x{i + 1} = {Math.Round(x0[i], 3)} ");
}
Приложение Б
Код для задания 2
using System;
using System.Collections.Generic;
class Program
{
static double k1 = 0.8;
static double k2 = 0.46;
static double k3 = 0.01; //static double k1 = 1;
//static double k2 = 4;
//static double k3 = -5;
static double Epsilon = 0.001;
static int MaxIterations = 100;
static double L;
static double Function(double x)
{
return k1 * x * x + k2 * x + k3;
}
static double Derivative(double x)
{
return 2 * k1 * x + k2;
}
static double G(double x)
{
return L * Function(x) + x;
}
static bool StopByFunction(double x, double epsilon)
{
return Math.Abs(Function(x)) < epsilon;
}
static bool StopByDifference(double xNew, double xOld, double epsilon)
{
return Math.Abs(xNew - xOld) < epsilon;
}
static (double, int) NewtonMethod(double x0, double epsilon, int maxIter)
{
double xOld = x0;
for (int i = 1; i <= maxIter; i++)
{
double xNew = xOld - Function(xOld) / Derivative(xOld);
if (StopByFunction(xNew, epsilon) || StopByDifference(xNew, xOld, epsilon))
{
return (xNew, i);
}
xOld = xNew;
}
return (xOld, maxIter);
}
static (double, int) SimpleIteration(double x0, double epsilon, int maxIter)
{
double xOld = x0;
for (int i = 1; i <= maxIter; i++)
{
double xNew = G(xOld);
if (StopByFunction(xNew, epsilon) || StopByDifference(xNew, xOld, epsilon))
{
return (xNew, i);
}
xOld = xNew;
}
return (xOld, maxIter);
}
static bool IsRootFound(List<double> roots, double x, double epsilon)
{
foreach (double root in roots)
{
if (Math.Abs(root - x) < epsilon * 10)
{
return true;
}
}
return false;
}
static void FindRootInInterval(double a, double b, List<double> foundRoots)
{
double x0 = (a + b) / 2;
Console.WriteLine($"\nИщем корень в интервале: [{a}, {b}]");
if (Function(a) * Function(b) > 0)
{
Console.WriteLine($"На интервале [{a}, {b}] нет корня, так как знаки функции в концах совпадают.");
return;
}
L = -1 / Derivative(x0);
Console.WriteLine($"Начальная точка для метода Ньютона: {x0:F3}");
var (rootNewton, iterNewton) = NewtonMethod(x0, Epsilon, MaxIterations);
double roundedRootNewton = Math.Round(rootNewton, 3);
Console.WriteLine($"Корень методом Ньютона: {roundedRootNewton}, количество итераций: {iterNewton}");
Console.WriteLine($"Начальная точка для метода простых итераций: {x0:F3}");
var (rootIter, iterIter) = SimpleIteration(x0, Epsilon, MaxIterations);
double roundedRootIter = Math.Round(rootIter, 3);
Console.WriteLine($"Корень методом простых итераций: {roundedRootIter}, количество итераций: {iterIter}");
if (!IsRootFound(foundRoots, rootNewton, Epsilon))
{
foundRoots.Add(rootNewton);
}
if (!IsRootFound(foundRoots, rootIter, Epsilon))
{
foundRoots.Add(rootIter);
}
}
static void Main()
{
double a1 = -0.6;
double b1 = -0.5;
double a2 = -0.1;
double b2 = 0;
List<double> foundRoots = new List<double>();
FindRootInInterval(a1, b1, foundRoots);
FindRootInInterval(a2, b2, foundRoots);
Console.WriteLine("\nВсе уникальные найденные корни:");
foreach (double root in foundRoots)
{
Console.WriteLine($"Корень: {Math.Round(root, 3)}");
}
}
}
Томск 2024