1Введение

Целью данной лабораторной работы является изучение и практическое применение численных методов для решения систем нелинейных уравнений и нелинейных уравнений одной переменной. В рамках работы требуется разработать программу, реализующую методы Ньютона и простых итераций для решения предложенных уравнений.

Варианты заданий представлены на рис. 1

Рисунок 1 — Задания

2Ход работы

Для решения первой задачи был использован метод Зейделя. Результат работы программы представлен на рисунке 2. Таблица с результатами программы представлена в таблице 1.

Рисунок 2 — Результат работы

Для решения второй задачи были использованы 2 метода: Ньютона и простых итераций. Для поиска границ интервалов был использован метод анализа поведения производной. Результат работы представлен на рисунке 3. Таблица с результатами программы представлена в таблице 2.

Рисунок 2 — Результат работы

Заключение

В ходе выполнения лабораторной работы были изучены и реализованы численные методы решения нелинейных уравнений, такие как метод Ньютона и метод простых итераций. На основе разработанной программы были успешно решены система нелинейных уравнений и предложенное уравнение одной переменной. Полученные результаты округлены до двух знаков после запятой, как требовалось в условиях задания.

Приложение А (обязательное)

Код для задания 1

double[,] k =

{

{ -10.28, 4.83, -5.27}, {2.7, -4.33, 0.02}, {8.53, 1.76, -12.94 }

};

double[] b = { 4.17, -5.02, 5.76 }; double[] x0 = { 0, 0, 0 }; double[] prevX = new double[3]; double accuracy = 0.001;

int iterations = 0; bool running = true;

while (running)

{

prevX[0] = x0[0]; prevX[1] = x0[1]; prevX[2] = x0[2];

x0[0] = (b[0] - k[0, 1] * prevX[1] - k[0, 2] * prevX[2]) / k[0, 0]; x0[1] = (b[1] - k[1, 0] * x0[0] - k[1, 2] * prevX[2]) / k[1, 1]; x0[2] = (b[2] - k[2, 0] * x0[0] - k[2, 1] * x0[1]) / k[2, 2];

if (Math.Abs(x0[0] - prevX[0]) < accuracy &&

Math.Abs(x0[1] - prevX[1]) < accuracy && Math.Abs(x0[2] - prevX[2]) < accuracy)

{

Console.WriteLine($"Система решена за {iterations + 1} итераций."); running = false;

}

else

{

iterations++;

}

}

Console.WriteLine("Решение:"); for (int i = 0; i < 3; i++)

{

Console.WriteLine($"x{i + 1} = {Math.Round(x0[i], 3)} ");

}

Приложение Б Код для задания 2

class Program

{

static double k1 = 0.8; static double k2 = 0.46; static double k3 = 0.01;

static double Epsilon = 0.001; static int MaxIterations = 100; static double L;

static double Function(double x)

{

return k1 * x * x + k2 * x + k3;

}

static double Derivative(double x)

{

return 2 * k1 * x + k2;

}

static double G(double x)

{

return L * Function(x) + x;

}

static bool StopByFunction(double x, double epsilon)

{

return Math.Abs(Function(x)) < epsilon;

}

static bool StopByDifference(double xNew, double xOld, double epsilon)

{

return Math.Abs(xNew - xOld) < epsilon;

}

static List<(double, double)> FindIntervals(double start, double stop, double step)

{

var intervals = new List<(double, double)>(); double a = start;

double b = a + step; while (b <= stop)

{

if (Function(a) * Function(b) <= 0)

{

intervals.Add((a, b));

}

a = b;

b = a + step;

}

return intervals;

}

static (double, int) NewtonMethod(double x0, double epsilon, int maxIter)

{