ЛР1 / ЧМ_Л1
.odtМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем (КИБЭВС)
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
Отчет по лабораторной работе №1
по дисциплине «Численные методы»
Студент гр. 733-1
_______Сметанников Д.Е
Принял:
ст.преп. каф. КИБЭВС
_______Катаева Е.С
Содержание
1 Введение 3
2 Ход работы 4
Заключение 6
Приложение А 7
Приложение Б 9
Введение
Целью данной лабораторной работы является изучение и практическое применение численных методов для решения систем нелинейных уравнений и нелинейных уравнений одной переменной. В рамках работы требуется разработать программу, реализующую методы Ньютона и простых итераций для решения предложенных уравнений.
Варианты заданий представлены на рис. 1
Р
исунок
1 — Задания
Ход работы
Для решения первой задачи был использован метод Зейделя. Результат работы программы представлен на рисунке 2 и 3. Таблица с результатами программы представлена в таблице 1.
Рисунок 2 — Результат работы тестового задания
Рисунок 3 — Результат работы индивидуального задания
Таблица 1
|
Начальная точка |
Число итераций |
Решение |
Проверочная система |
XO=(0,0,0)T |
4 |
X=(1, 1, 1)T |
Индивидуальная система |
XO=(0,0,0)T |
5 |
X=(0.263, 1.323, -0.092)T |
Для решения второй задачи были использованы 2 метода: Ньютона и простых итераций. Для поиска границ интервалов был использован метод анализа поведения производной. Результат работы представлен на рисунке 4. Таблица с результатами программы представлена в таблице 2.
Рисунок 4 — Результат работы
Таблица 2
|
Начальная точка |
Число итераций для каждого корня |
Решение |
Метод Ньютона |
XO=(-0,55, -0,05)T |
1,1 |
X=(-0,552, -0,021)T |
Метод простой итерации |
XO=(-0,55, -0,05)T |
1,1 |
X=(-0,552, -0,021)T |
Заключение
В ходе выполнения лабораторной работы были изучены и реализованы численные методы решения нелинейных уравнений, такие как метод Ньютона и метод простых итераций. На основе разработанной программы были успешно решены система нелинейных уравнений и предложенное уравнение одной переменной. Полученные результаты округлены до двух знаков после запятой, как требовалось в условиях задания.
Приложение А
(обязательное)
Код для задания 1
double[,] k =
{
{ -10.28, 4.83, -5.27},
{2.7, -4.33, 0.02},
{8.53, 1.76, -12.94 }
};
double[] b = { 4.17, -5.02, 5.76 };
double[] x0 = { 0, 0, 0 };
double[] prevX = new double[3];
double accuracy = 0.001;
int iterations = 0;
bool running = true;
while (running)
{
prevX[0] = x0[0];
prevX[1] = x0[1];
prevX[2] = x0[2];
x0[0] = (b[0] - k[0, 1] * prevX[1] - k[0, 2] * prevX[2]) / k[0, 0];
x0[1] = (b[1] - k[1, 0] * x0[0] - k[1, 2] * prevX[2]) / k[1, 1];
x0[2] = (b[2] - k[2, 0] * x0[0] - k[2, 1] * x0[1]) / k[2, 2];
if (Math.Abs(x0[0] - prevX[0]) < accuracy &&
Math.Abs(x0[1] - prevX[1]) < accuracy &&
Math.Abs(x0[2] - prevX[2]) < accuracy)
{
Console.WriteLine($"Система решена за {iterations + 1} итераций.");
running = false;
}
else
{
iterations++;
}
}
Console.WriteLine("Решение:");
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
Console.WriteLine($"x{i + 1} = {Math.Round(x0[i], 3)} ");
}
Приложение Б
Код для задания 2
class Program
{
static double k1 = 0.8;
static double k2 = 0.46;
static double k3 = 0.01;
static double Epsilon = 0.001;
static int MaxIterations = 100;
static double L;
static double Function(double x)
{
return k1 * x * x + k2 * x + k3;
}
static double Derivative(double x)
{
return 2 * k1 * x + k2;
}
static double G(double x)
{
return L * Function(x) + x;
}
static bool StopByFunction(double x, double epsilon)
{
return Math.Abs(Function(x)) < epsilon;
}
static bool StopByDifference(double xNew, double xOld, double epsilon)
{
return Math.Abs(xNew - xOld) < epsilon;
}
static List<(double, double)> FindIntervals(double start, double stop, double step)
{
var intervals = new List<(double, double)>();
double a = start;
double b = a + step;
while (b <= stop)
{
if (Function(a) * Function(b) <= 0)
{
intervals.Add((a, b));
}
a = b;
b = a + step;
}
return intervals;
}
static (double, int) NewtonMethod(double x0, double epsilon, int maxIter)
{
double xOld = x0;
for (int i = 1; i <= maxIter; i++)
{
double xNew = xOld - Function(xOld) / Derivative(xOld);
if (StopByFunction(xNew, epsilon) || StopByDifference(xNew, xOld, epsilon))
{
return (xNew, i);
}
xOld = xNew;
}
return (xOld, maxIter);
}
static (double, int) SimpleIteration(double x0, double epsilon, int maxIter)
{
double xOld = x0;
for (int i = 1; i <= maxIter; i++)
{
double xNew = G(xOld);
if (StopByFunction(xNew, epsilon) || StopByDifference(xNew, xOld, epsilon))
{
return (xNew, i);
}
xOld = xNew;
}
return (xOld, maxIter);
}
static bool IsRootFound(List<double> roots, double x, double epsilon)
{
foreach (double root in roots)
{
if (Math.Abs(root - x) < epsilon * 10)
{
return true;
}
}
return false;
}
static void Main()
{
double intervalStart = -10;
double intervalEnd = 10;
double step = 0.1;
List<double> foundRoots = new List<double>();
List<(double, double)> intervals = FindIntervals(intervalStart, intervalEnd, step);
if (intervals.Count > 0)
{
foreach (var interval in intervals)
{
double a = Math.Round(interval.Item1, 3);
double b = Math.Round(interval.Item2, 3);
Console.WriteLine($"Корень найден в интервале: [{a:F3}, {b:F3}]");
double x0 = Math.Round((a + b) / 2, 3);
L = -1 / Derivative(x0);
Console.WriteLine($"Начальная точка для метода Ньютона: {x0:F3}");
var (rootNewton, iterNewton) = NewtonMethod(x0, Epsilon, MaxIterations);
double roundedRootNewton = Math.Round(rootNewton, 3);
Console.WriteLine($"Корень методом Ньютона: {roundedRootNewton}, количество итераций: {iterNewton}");
Console.WriteLine($"Начальная точка для метода простых итераций: {x0:F3}");
var (rootIter, iterIter) = SimpleIteration(x0, Epsilon, MaxIterations);
double roundedRootIter = Math.Round(rootIter, 3);
Console.WriteLine($"Корень методом простых итераций: {roundedRootIter}, количество итераций: {iterIter}");
if (!IsRootFound(foundRoots, rootNewton, Epsilon))
{
foundRoots.Add(rootNewton);
}
if (!IsRootFound(foundRoots, rootIter, Epsilon))
{
foundRoots.Add(rootIter);
}
}
}
else
{
Console.WriteLine($"Корни не найдены на интервале [{intervalStart}, {intervalEnd}]");
}
Console.WriteLine("\nВсе уникальные найденные корни:");
foreach (double root in foundRoots)
{
Console.WriteLine($"Корень: {Math.Round(root, 3)}");
}
}
}
Томск 2024