ДОП / ДОП_СметанниковДЕ_7331
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-
вычислительных систем (КИБЭВС)
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ
Отчет по индивидуальному заданию по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Студент гр. 733-1
__________ Сметанников Д.Е «___» __________ 2025 г.
Руководитель Доцент каф. КИБЭВС, к.т.н.
_______ __________ Ю.В. Шабля
оценка
«___» __________ 2025 г.
Томск 2025
|
Оглавление |
|
Введение................................................................................................................... |
3 |
|
1 |
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ................................................. |
4 |
2 |
ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ .................................... |
9 |
3 |
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.............................. |
13 |
Заключение ............................................................................................................ |
20 |
|
2
Введение
Целью работы является закрепление полученных теоретических знаний в области математической статистики на примере выполнения практических задач с помощью специализированного программного обеспечения.
Задание:
1.Выбрать программное обеспечение для выполнения индивидуального задания;
2.Сформулировать исследуемый процесс, определить целевую функцию и влияющие факторы, сформировать выборку данных;
3.Выполнить проверку статистической гипотезы о виде закона распределения;
4.Провести однофакторный дисперсионный анализ;
5.Провести корреляционный и регрессионный анализ.
В качестве исследуемого процесса предлагается рассмотреть работу программы, реализующей сортировку пузырьком для массива убывающих чисел. Целевая функция (выходной параметр) – время сортировки массива.
Фактор (входной параметр) – размер массива.
Для выполнения индивидуального задания выбрана программа для работы с электронными таблицами «Microsoft Excel».
3
1 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Время сортировки массива принимает разные значения даже при одинаковых значениях входных параметров. Следовательно, можно принять время сортировки массива за некоторую случайную величину, которую обозначим как . Далее исследуем вид закона распределения случайной величины . Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при фиксированном значении входного параметра (размер массива
= 30000 элементов) с многократным повторением ( = 200 раз).
Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – Фрагмент с результатами работы программы
4
Все полученные значения были перенесены в «Microsoft Exсel». Так как случайная величина Y является непрерывной, то в полученной выборке присутствует большое значение различных значений случайной величины с малыми частотами их появления. Такую выборку невозможно исследовать на принадлежность к какому-либо виду закона распределения. Поэтому сгруппируем данные выборки, распределив их на равные интервалы значений,
и посчитаем соответствующие частоты попадания в каждый интервал.
Количество интервалов определяется по правилу Стёрджеса:
= 1 + log2 ,
где – объем выборки. Тогда для исследуемой выборки получаем
= 1 + log2 200 = 8.
Полученное статистическое распределение выборки в виде интервального ряда представлено на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 – Статистическое распределение выборки
Далее на основе полученного статистического распределения выборки была построена гистограмма частот (рисунок 1.3).
5
Рисунок 1.3 – Гистограмма частот
Исходя из графического представления полученной гистограммы частот, можно сделать следующие выводы о возможном законе распределения случайной величины : наиболее вероятный закон распределения – экспоненциальный, т.к. присутствуют характерные признаки, а именно:
•Резкий спад частот при увеличении значения;
•Мода и меридиан смещены к началу оси X;
Далее проверим статистическую гипотезу о виде закона распределения по критерию Пирсона. В качестве проверяемых законов распределения рассмотрим равномерное и нормальное распределения.
Непрерывная случайная величина , распределенная по равномерному закону, определяется двумя параметрами ( = 2) и имеет следующие функцию плотности распределения вероятностей и функцию распределения вероятностей:
1 |
|
|
1, |
|
> |
|||
, |
[ ; ] ; |
|
− |
|
|
|||
( ) = { |
|
( ) = { |
, |
[ ; ] |
||||
− |
||||||||
|
− |
|||||||
0, |
|
[ ; ] |
|
|
|
|||
|
0, |
|
< |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Для получения оценок параметров и равномерного распределения |
||||||||
воспользуемся методом наибольшего правдоподобия: |
|
|
||||||
|
|
|
= min = 0.249; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ = max |
= 0.312. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Вычислим теоретические частоты попадания в интервал [ |
|
; ] для |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
равномерного распределения с параметрами = 0.249 и |
= 0.312 при |
||||||||||||
выборке объема = 200 по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
′ = ( [ |
; |
]) = ( ( ) − ( |
)) = |
|
−1 |
. |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим расчетное значение критерия Пирсона по формуле |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
( − |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
= 383.68. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
набл |
=1 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим критическое значение критерия Пирсона при уровне |
|||||||||||||
значимости = 0,05 по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 2( ; − − 1) = 2(0,05; 8 − 2 − 1) = 2(0,05; 5) = 11.07. |
||||||||||||
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рисунке 1.4 представлены подробности промежуточных вычислений.
Рисунок 1.4 – Расчеты для равномерного закона распределения
Так как набл > кр, то H0, говорящее что распределение равномерное, отвергается.
Непрерывная случайная величина , распределенная по нормальному закону, определяется двумя параметрами ( = 2) и имеет следующие функцию плотности распределения вероятностей и функцию распределения вероятностей:
( ) = |
1 |
− |
( − )2 |
( ) = |
1 |
|
− |
|
|||
22 |
; |
+ Ф ( |
). |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
√2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
7
Для получения оценок параметров и нормального распределения воспользуемся методом наибольшего правдоподобия:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
∑ = 0.26; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= = √ |
|
∑( − |
|
)2 |
|
|
= 0.0088. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
{ |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим теоретические частоты попадания в интервал |
[ |
; ] для |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
нормального распределения с параметрами |
= 0.26 и |
= 0.0088 при |
|||||||||||||||||||||||
выборке объема = 200 по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
′ = ( |
[ |
|
|
|
|
|
; ]) = ( ( ) |
− ( |
)) = |
|
|
||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||
= (Ф ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) − Ф ( |
−1 |
|
|
|
)). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вычислим расчетное значение критерия Пирсона по формуле |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( − ′)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= ∑ |
|
|
|
|
= 13.485. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
набл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определим критическое значение критерия Пирсона при уровне значимости = 0,05 по формуле
кр = 2( ; − − 1) = 2(0,05; 8 − 2 − 1) = 2(0,05; 5) = 11.071.
На рисунке 1.5 представлены подробности промежуточных вычислений.
Рисунок 1.5 – Расчеты для нормального закона распределения
8
Так как набл > кр, то H0, говорящее что распределение нормальное, отвергается.
9
2 ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Далее исследуем значимость влияния размера массива убывающих чисел на время его сортировки. Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при = 3 фиксированных значениях входного параметра (размер массива 1 = 10000, 2 = 20000 и 3 = 30000
элементов) с многократным повторением ( = 10 раз). Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 – Фрагмент с результатами работы программы
Для начала общая выборка была разделена на 3 выборки (для 10000,
20000 и 30000). Была вычислена Yср для всей выборки = 0,136666667 и Yjср
10