2 Однофакторный дисперсионный анализ

Далее исследуем значимость влияния размера массива убывающих чисел на время его сортировки. Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при фиксированных значениях входного параметра (размер массива , и элементов) с многократным повторением ( раз). Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Фрагмент с результатами работы программы

Для начала общая выборка была разделена на 3 выборки (для 10000, 20000 и 30000). Была вычислена Y_ср для всей выборки = 0,136666667 и Y_jср для каждой выборки(0.0298, 0.1162 и 0.264 соответственно). Были посчитаны S_j²_факт =(Yj_cр*Y_ср)²*10 = 0.114204844, 0.004188844, 0.162137778 соответственно. SS_факт= S₁²_факт+ S₂²_факт+ S₃²_факт = 0.280531467 Была составлена новая таблица из 3 выборок по принципу (Y_j- Y_jср)². Посчитана SS_ост через сумму всех значений в новой таблице из выборок и равной 0.0036352 = SS_факт/k = 0.280531467/3 = 0.140265733 = SS_ост /(n-k) = 0.0036352/(30-3) = 0.000134637

Далее проверим статистическую гипотезу о значимости влияния фактора по критерию Фишера.

Вычислим расчетное значение критерия Фишера по формуле

Определим критическое значение критерия Фишера при уровне значимости по формуле

На рисунке 2.2 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 2.2 – Расчеты для критерия Фишера

Так как > , то H0, говорящее что фактор не значим, отрицаем.

Сравнивая результаты ручного вычисления и вычисления с помощью надстройки можно увидеть, что они одинаковые.

3 Корреляционный и регрессионный анализ

Далее исследуем силу и форму зависимости времени сортировки массива убывающих чисел от его размера. Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при фиксированных значениях входного параметра (размер массива ) без повторений ( раз). Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Фрагмент с результатами работы программы

Для начала были вычислены суммы всех значений X, Y, X², X³, X⁴, Y², X*Y и X²*Y = 1112500, 4.915, 27356250000, 7.24516E+14, 2.02304E+19, 0.656357, 130314.5, 3641626250.

Вычислим значение выборочного коэффициента линейной корреляции по формуле:

Вывод: Очень высокая степень линейной взаимосвязи

Результат, полученный методом использования надстройки идентичен ручному вычислению.

На рисунке 3.2 представлен график корреляционного поля для полученной выборки.

Рисунок 3.2 – График корреляционного поля

Форма возможной взаимосвязи — нелинейная возрастающая.

С увеличением размера массива время сортировки также растёт, но не пропорционально, а с ускорением.

Вычислим коэффициенты выборочного уравнения регрессии вида

где, основываясь на результатах применения метода наименьших квадратов,

В результате получаем

На рисунке 3.3 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 3.3 – Расчеты для уравнения регрессии вида

Вычислим коэффициенты выборочного уравнения регрессии вида

путем решения следующей системы линейных уравнений:

В результате получаем

На рисунке 3.5 – 3.7 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 3.5 – Расчеты для уравнения регрессии вида

Рисунок 3.6 - Расчеты для уравнения регрессии вида

Рисунок 3.7 - Расчеты для уравнения регрессии вида

Добавим полученные линии регрессии на график корреляционного поля. На рисунке 3.8 представлен график корреляционного поля и полученные уравнения регрессии. С увеличением размера массива время сортировки также растёт, но не пропорционально, а с ускорением.

Рисунок 3.8 – График корреляционного поля и линии регрессии

Значения b2,b1,b0 для и b1,b0 для , полученные путем ручного вычисления, оказались идентичными тем, что были вычислены путем использования «Добавить линию тренда»