2 Задача 2. Электромагнитный механизм с трехфазной системой питания переменным током

2.1 Исходные данные

Рассматриваются электромагнитный механизм и связная система его питания с пронумерованной последовательностью чередования фаз, представленные на рисунке 4. Пусть напряжения на зажимах фаз равны U₁ = U₁(t), U₂ = U₂(t) и U₃ = U₃(t) соответственно, и определяются известным образом.

Рисунок 4 – Эскиз электромагнитного механизма

2.2 Задача 2.1

Определить, как это принято, параметры системы питания.

Решение:

При анализе мгновенных значения динамических параметров состояния в установившихся режимах устанавливаются следующие допущения:

1. Исходим из принципа суперпозиции.

2. Состояния магнитной и электрической подсистем эмп аппарата рассматриваем как суперпозицию гармонических состояний, мгновенные значения параметров которых для указанных подсистем имеют вид:

где p_m – вещественнозначное амплитудное значение параметра p для участвующего в указанной суперпозиции элементарного «чистого» состояния;

ω = 2πf – круговая частота параметра p;

f = 1/T – циклическая частота изменения параметра p;

T – характерное время изменения параметра p, период;

φ_p – начальная фаза, определяющая значение данного параметра в момент времени t = 0;

Для придания определенности изменениям значений рассматриваемых параметров в принятой к рассмотрению системе отсчета времени будем считать, как это принято, что знак «минус» в определении временной фазы фиксирован и всегда φ_p ≥ 0.

3. Изменяющиеся во времени состояния считаем удовлетворяющими условиям квазистационарности, а процессы перехода из одного состояния в другое рассматриваем как квазистатические, для которых всегда справедливо уравнение баланса напряжений:

4. Считаем, что между намагничивающей силой и магнитным потоком имеет место прямая пропорциональная зависимость (закон Ома):

где – расчетное значение магнитной проводимости, эквивалентное по полному потокосцеплению обмотки;

w – число витков обмотки;

Исходя из принятых выше допущений и линейности выражения (16), определим параметры двухфазной системы питания:

Подставим выражения для первой фазы в (16):

где

где – индуктивность цепи обмотки.

При допущении, что в рассматриваемой цепи ωL >> R:

а также, при учете (18):

т.к. .

Аналогичные выражения для амплитудных значений можно получить для второй и третьей фаз питания. Тогда параметры системы питания, выраженные через напряжение питания и конструктивные параметры электромагнитного механизма, будут равны:

2.3 Задача 2.2.

Какие механические характеристики (параметры) определяют изменения механического состояния якоря в любой момент времени? Определить необходимые параметры.

Решение:

Изменение механического состояния якоря в любой момент времени определяются двумя механическими характеристиками – тяговым усилием и моментом сил тягового усилия. Выберем для рассмотрения правую систему координат, связанную с неподвижным сердечником механизма с направлением оси Ох вдоль длины воздушного зазора. Эскиз электромагнитного механизма представлен на рисунке 5.

X

0

Ф₃

M₁

r₃

r₁

σ³

σ²

F₃

F₂

σ¹

n₃

n₂

F₁

n₁

F

Ф₁

Ф₂

M₃

Рисунок 5 – Эскиз электромагнитного механизма с указанием сил и моментов сил, действующих на механизм

Пренебрегая выпучиванием магнитных линий из воздушных зазоров, считая магнитное поле в зазорах однородным, находим, что индукция в зазорах электромагнита направлена вдоль оси Ох, т.е. в зазорах от нуля отличны только составляющие индукции:

Отсюда следует, что среди компонентов тензора напряжений в любом из зазоров отличным от нуля является только:

Поэтому, среди компонентов векторов напряжений σ¹_, σ² и σ³ к поверхностям границ между якорем и зазорами 1, 2 и 3, отличными от нуля будут только составляющие вдоль оси Х, т.е. σ¹ = (σ_1xx, 0, 0), σ² = (σ_2xx, 0, 0) и σ³ = (σ_3xx, 0, 0). Тогда, учитывая направление векторов единичной нормали n к рассматриваемым граничным поверхностям, согласно определению, находим, что потоки механического импульса, поступающие из соответственных зазоров в якорь, равны:

где S – площади поверхностей якоря, граничащих с зазорами (площади поперечных сечений зазоров).

Пользуясь принципом Сен-Венана, связываем с поступающими в якорь потоками механического импульса ньютоновы силы F₁, F₂ и F₃, равные по величине механическим импульсам, поступающим за единицу времени в якорь со стороны соответственных воздушных зазоров:

имеющим направление вектора плотности потока импульса и точки приложения, совпадающие с центрами масс участков, непосредственно примыкающих к его поверхностям, воспринимающих указанные и обозначенные потоки.

После того, как мы определили параметры механического воздействия магнитного поля, формируемого в воздушных зазорах рассматриваемого электромагнитного механизма, проанализируем изменения механического состояния якоря с позиций механики. При этом якорь будем рассматривать, как абсолютно твердое тело с действующими на него силами, приложенными к разным его точкам. При определении результирующего (от совместного действия выделенных ньютоновых сил) воздействия магнитного поля на якорь, согласно принципам теоретической механики, нам необходимо привести все действующие на него силы к центру масс якоря, осуществить векторное сложение сил, а также определить и сложить моменты рассматриваемых сил относительно указанного центра приведения.

Так как в любой момент времени , а α₂ = 0°, то результирующий момент, определяемый как:

где r₁, r₂, r₃ – радиус-векторы, направленные от точек приложения сил F₁ – F₃ к центру масс электромагнитного механизма;

α₁, α₂, α₃ – углы между радиус-векторами r₁ – r₃ и векторами сил F₁ – F₃;

будет равен нулю, а результирующая сила, прилагаемая к указанному центру масс, будет равна по величине:

и направлена в направлении вектора плотности потока механического импульса.

Осуществляя очевидное преобразование, для величины результирующего усилия находим:

Постоянный член в этом выражении представляет собой среднее за период значение усилия, совершающего полезную работу. Со вторым членом связано изменяющееся во времени воздействие, приводящее к вибрации в рассматриваемом электромагнитном механизме.