11 Определение спектра периодического входного сигнала
Для получения спектральных характеристик входного периодического сигнала используем их связь со спектральными характеристиками входного одиночного импульса:
где k =0, 1, 2, …, N; N – число гармоник ряда Фурье, используемых при расчете; – частота основной гармоники. Изображения амплитудного и фазного дискретных спектров периодического воздействия представлены на рисунках 25 и 26.
Рисунок 25 – Амплитудный дискретный спектр воздействия
Рисунок 26 – Фазовый дискретный спектр воздействия
Запишем отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий входное периодическое воздействие, при N = 5.
На рисунке 27 представлены графики периодического воздействия (штриховая линия) и его аппроксимации отрезком ряда Фурье при N = 5 (сплошная линия). Тонкими пунктирными линиями показаны составляющие, соответствующие отдельным гармоникам ряда Фурье.
Рисунок 28 – Аппроксимация периодического воздействия 3 членами ряда Фурье, не считая постоянной составляющей
Исследуем влияние числа членов ряда Фурье на точность аппроксимации. Запишем отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий входное периодическое воздействие, при N = 7.
На рисунке 28 представлены графики периодического воздействия (штриховая линия) и его аппроксимации отрезком ряда Фурье при N = 7 (сплошная линия). Тонкими пунктирными линиями показаны составляющие, соответствующие отдельным гармоникам ряда Фурье.
Рисунок 28 – Аппроксимация периодического воздействия 5 членами ряда Фурье, не считая постоянной составляющей
Как можно видеть из рисунков 27 и 28, увеличение числа членов ряда Фурье не сильно влияет на точность аппроксимации реакции в данной цепи. Это связано в первую очередь с очень маленькими значениями коэффициентов А1k, из-за которых гармоники выше четвертой вносят небольшой вклад в общую функцию. Именно поэтому обычно принято при аппроксимации рядом Фурье использовать постоянную составляющую и первые три гармоники.
12 Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии
Запишем выражения для амплитудного и фазового спектров реакции при периодическом воздействии:
Полученные значения отсчетов дискретных спектров приведены в таблице 5. Графики амплитудного и фазового дискретных спектров реакции на периодическое воздействие приведены на рисунках 29 и 30.
Таблица 5 – Расчеты для аппроксимации рядом Фурье графика периодической реакции
k |
ωk |
A(ω) |
Ф(ω) |
A1k |
Ф1k |
A2k |
Ф2k |
0 |
0 |
0,5 |
0 |
3 |
0 |
1,5 |
0 |
1 |
0,25 |
0,5 |
-0,506 |
0,81 |
-3,142 |
0,405 |
-3,647 |
2 |
0,5 |
0,496 |
-1,052 |
0,405 |
-3,142 |
0,201 |
-4,194 |
3 |
0,75 |
0,461 |
-1,687 |
0,09 |
-9,425 |
0,041 |
-11,112 |
Рисунок 29 – График амплитудного дискретного спектра периодической реакции цепи
Рисунок 30 – График фазового дискретного спектра периодической реакции цепи
На рисунке 31 представлены графики периодического воздействия (штриховая линия) и график аппроксимации реакции цепи отрезком ряда Фурье при N = 4 (сплошная линия). Тонкими пунктирными линиями показаны составляющие, соответствующие отдельным гармоникам ряда Фурье.
Рисунок 31 - Аппроксимация периодической реакции