8 Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия

Определим спектральные характеристики одиночного импульса, изображенного на рисунке 1. Комплексный спектр импульсного воздействия:

Разобьём выражение в скобках на два и преобразуем их по очереди. Первое выражение:

Второе выражение:

Таким образом:

Отсюда можем найти амплитудный и фазовый спектры импульсного воздействия:

Для построения графика амплитудного спектра сигнала найдем его узлы, т.е. значения частот ω_yk, при которых указанный спектр равен нулю и значение спектра на нулевой частоте:

Таким образом:

В качестве контроля проверим, соответствует ли значение спектра на нулевой частоте площади сигнала:

Как можно видеть, значение спектра на нулевой частоте соответствует значению площади сигнала, что говорит о том, что расчеты выполнены верно. График амплитудного спектра импульсного воздействия представлен на рисунке 18.

Рисунок 18 – Амплитудный спектр импульсного воздействия

Ширина спектра импульсного воздействия, определенная по 10%-му амплитудному критерию, Δω_сп ϵ [0;0,55].

График фазового спектра импульсного воздействия представлен на рисунке 19.

Рисунок 19 – Фазовый спектр импульсного воздействия

Сравнение амплитудного спектра воздействия и полосы пропускания цепи показывает, что спектр входного сигнала укладывается в полосе пропускания, следовательно, оценки, сделанные ранее на основе частотных характеристик, справедливы, что подтверждается данными точного расчета (см. рисунок 16).

9 Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе цепи

Выражение для амплитудного спектра реакции:

Фазовый спектр реакции:

Графики амплитудного и фазового спектров реакции на импульсное воздействие представлены на рисунках 20 и 21 соответственно.

Рисунок 20 – Амплитудный спектр реакции на импульсное воздействие

Рисунок 21 – Фазовый спектр реакции на импульсное воздействие

10 Приближенный расчет реакции по спектру при одиночном импульсе воздействии

Приближённый расчёт сигнала по его амплитудному и фазовому спектрам основан на формулах связи спектра одиночного импульса со спектром периодического сигнала той же формы:

где k =0, 1, 2, …, N; N – число гармоник ряда Фурье, используемых при расчете; – частота основной гармоники.

Выберем достаточно большой период Т = 2t_и. Изображение амплитудного и фазного спектров периодической реакции на импульс с Т= 2t_и, представлены на рисунках 22 и 23.

Рисунок 22 – Амплитудный спектр периодической реакции на импульс с Т= 2t_и

Рисунок 23 – Фазовый спектр периодической реакции на импульс с Т= 2t_и

В таблице 4 приведены значения амплитуд и фаз дискретного спектра периодического сигнала с T = 2t_и, а также значения амплитуд и фаз реакции и значения АЧХ и ФЧХ цепи.

Таблица 4 – Расчеты для аппроксимации рядом Фурье графика импульсной реакции

k	ωk	A1	Ф1	А	Ф	А2	Ф2	Аk2	Фk2
0	0	37,68	0	0,5	0	18,84	0	0,75	0
1	0,125	28,796	-1,571	0,5	-0,251	14,398	-1,822	0,573	-1,822
2	0,25	10,181	-3,142	0,5	-0,506	5,09	-3,647	0,203	-3,647
3	0,375	3,2	-1,571	0,5	-0,771	1,598	-2,341	0,064	-2,341
4	0,5	5,09	-3,142	0,496	-1,052	2,525	-4,194	0,101	-4,194
5	0,675	1,152	-4,712	0,486	-1,357	0,559	-6,07	0,022	-6,07

Итак, теперь мы можем записать отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий импульсную реакцию:

На рисунке 24 представлены графики импульсной реакции (штриховая линия) и её аппроксимации отрезком ряда Фурье при N = 5 (сплошная линия). Тонкими пунктирными линиями показаны составляющие, соответствующие отдельным гармоникам ряда Фурье.

Рисунок 24 – Аппроксимация импульсной реакции 5 членами ряда Фурье