5 Составление уравнений состояния цепи
Получим уравнения состояния цепи с помощью формальной процедуры, для чего заменим L-элемент на источник тока iL1(t), а С-элементы на источники напряжения uC1(t) и uC2(t). Соответствующая схема представлена на рисунке 10.
Рисунок 10 – Схема цепи для составления уравнений состояния
Воспользуемся методом контурных токов
для нахождения следующих величин:
в полученной резистивной цепи. В цепи
присутствует преобразуемый источник
тока i1(t),
поэтому сначала преобразуем схему.
Преобразованная схема представлена на
рисунке 11.
Рисунок 11 – Преобразованная схема
Составим систему уравнений по МКТ:
Выразим контурные токи:
Найдем значения токов в элементах С1 и С2:
Найдем значение напряжения на элементе L1 с помощью закона напряжений Кирхгофа:
Таким образом, мы можем
составить уравнения состояния, используя
соотношения
,
,
:
Запишем уравнения состояния в матричной форме:
Подставим числовые значения:
Проконтролируем полученные уравнения. Для этого найдем корни характеристического полинома:
Корни характеристического полинома совпадают с полюсами передаточной функции, следовательно, уравнения состояния были составлены верно.
6 Определение переходной и импульсной характеристик цепи
Для аналитического расчета переходной характеристики используем операторный метод:
Применим теорему разложения:
Найдем H1(s):
Найдем h1(t):
График переходной характеристики представлен на рисунке 12
Рисунок 12 – Переходная характеристика цепи
Проконтролируем конечное h1(∞) и начальное h1(0+) значения переходной характеристики с помощью подстановки соответствующих значений в её уравнение:
Теперь проконтролируем конечное h1(∞) и начальное h1(0+) значения переходной характеристики с помощью теоремы о конечном и начальном значениях:
Все рассчитанные значения переходной характеристики совпадают. Теперь найдем импульсную характеристику:
Применим теорему разложения:
Найдем H(s):
Найдем h(t):
График импульсной характеристики h(t) представлен на рисунке 13:
Рисунок 13 – Импульсная характеристика цепи
Выполним численный расчет переходной характеристики, для чего получим численное решение уравнений состояния на основе алгоритма Эйлера:
Шаг расчета выбираем, исходя из следующих условий:
Где Tmin
≈ 7,25 – минимальный период колебаний
синусоидальной составляющей в описании
процессов в цепи;
– минимальная постоянная времени; sk
– полюсы передаточной функции цепи.
Выбираем шаг расчета равным 0,1. Тогда:
На основе полученного численного
решения для переменных состояния с
помощью уравнения связи
вычислим значение переходной
характеристики. В качестве примера
приведем первые три шага расчета. Шаг
первый:
Шаг второй:
Шаг
третий:
Вычислим все значения величин на интервале от 0 до 10 секунд. Результат сведем в таблицу 2.
Таблица 2 – Результаты расчета переходной характеристики цепи явным методом Эйлера
t, c |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
|
0,000 |
0,050 |
0,145 |
0,230 |
0,306 |
0,374 |
0,432 |
0,484 |
0,528 |
|
0,000 |
0,000 |
0,003 |
0,010 |
0,021 |
0,037 |
0,055 |
0,076 |
0,100 |
|
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,001 |
0,003 |
0,007 |
0,011 |
0,018 |
|
0,500 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
0,9 |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
|
0,565 |
0,596 |
0,621 |
0,641 |
0,656 |
0,667 |
0,673 |
0,676 |
0,676 |
|
0,125 |
0,152 |
0,180 |
0,209 |
0,238 |
0,267 |
0,296 |
0,324 |
0,351 |
|
0,026 |
0,036 |
0,048 |
0,061 |
0,076 |
0,092 |
0,109 |
0,128 |
0,148 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
1,8 |
1,9 |
2 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
2,6 |
|
0,674 |
0,668 |
0,661 |
0,652 |
0,642 |
0,631 |
0,619 |
0,606 |
0,593 |
|
0,378 |
0,403 |
0,427 |
0,450 |
0,471 |
0,490 |
0,508 |
0,524 |
0,538 |
|
0,168 |
0,189 |
0,210 |
0,232 |
0,254 |
0,276 |
0,297 |
0,318 |
0,339 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
2,7 |
2,8 |
2,9 |
3 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
|
0,580 |
0,567 |
0,554 |
0,541 |
0,529 |
0,518 |
0,507 |
0,497 |
0,488 |
|
0,551 |
0,562 |
0,572 |
0,579 |
0,586 |
0,591 |
0,594 |
0,597 |
0,598 |
|
0,359 |
0,378 |
0,396 |
0,414 |
0,430 |
0,446 |
0,460 |
0,474 |
0,486 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
3,6 |
3,7 |
3,8 |
3,9 |
4 |
4,1 |
4,2 |
4,3 |
4,4 |
|
0,479 |
0,471 |
0,464 |
0,458 |
0,453 |
0,449 |
0,446 |
0,443 |
0,441 |
|
0,598 |
0,597 |
0,595 |
0,593 |
0,589 |
0,585 |
0,581 |
0,576 |
0,571 |
|
0,497 |
0,507 |
0,516 |
0,524 |
0,531 |
0,537 |
0,542 |
0,546 |
0,549 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
4,5 |
4,6 |
4,7 |
4,8 |
4,9 |
5 |
5,1 |
5,2 |
5,3 |
|
0,440 |
0,439 |
0,439 |
0,440 |
0,441 |
0,443 |
0,445 |
0,447 |
0,450 |
|
0,566 |
0,560 |
0,555 |
0,549 |
0,543 |
0,538 |
0,532 |
0,527 |
0,522 |
|
0,551 |
0,552 |
0,553 |
0,553 |
0,553 |
0,552 |
0,550 |
0,549 |
0,546 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
5,4 |
5,5 |
5,6 |
5,7 |
5,8 |
5,9 |
6 |
6,1 |
6,2 |
|
0,452 |
0,456 |
0,459 |
0,462 |
0,465 |
0,469 |
0,472 |
0,476 |
0,479 |
|
0,517 |
0,512 |
0,508 |
0,504 |
0,500 |
0,497 |
0,494 |
0,491 |
0,489 |
|
0,544 |
0,541 |
0,538 |
0,535 |
0,532 |
0,529 |
0,526 |
0,523 |
0,520 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
6,3 |
6,4 |
6,5 |
6,6 |
6,7 |
6,8 |
6,9 |
7 |
7,1 |
|
0,482 |
0,485 |
0,488 |
0,491 |
0,494 |
0,496 |
0,498 |
0,500 |
0,502 |
|
0,487 |
0,485 |
0,484 |
0,483 |
0,482 |
0,481 |
0,481 |
0,481 |
0,481 |
|
0,516 |
0,514 |
0,511 |
0,508 |
0,505 |
0,503 |
0,501 |
0,499 |
0,497 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
7,2 |
7,3 |
7,4 |
7,5 |
7,6 |
7,7 |
7,8 |
7,9 |
8 |
|
0,504 |
0,505 |
0,507 |
0,508 |
0,509 |
0,510 |
0,510 |
0,511 |
0,511 |
|
0,481 |
0,482 |
0,482 |
0,483 |
0,484 |
0,485 |
0,485 |
0,487 |
0,488 |
|
0,495 |
0,494 |
0,493 |
0,492 |
0,491 |
0,490 |
0,490 |
0,489 |
0,489 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
8,1 |
8,2 |
8,3 |
8,4 |
8,5 |
8,6 |
8,7 |
8,8 |
8,9 |
|
0,511 |
0,511 |
0,511 |
0,511 |
0,511 |
0,510 |
0,510 |
0,509 |
0,509 |
|
0,489 |
0,490 |
0,491 |
0,492 |
0,493 |
0,494 |
0,495 |
0,496 |
0,497 |
|
0,489 |
0,489 |
0,489 |
0,489 |
0,489 |
0,490 |
0,490 |
0,491 |
0,491 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
9 |
9,1 |
9,2 |
9,3 |
9,4 |
9,5 |
9,6 |
9,7 |
9,8 |
|
0,508 |
0,507 |
0,507 |
0,506 |
0,506 |
0,505 |
0,504 |
0,504 |
0,503 |
|
0,498 |
0,499 |
0,500 |
0,500 |
0,501 |
0,501 |
0,502 |
0,502 |
0,503 |
|
0,492 |
0,492 |
0,493 |
0,494 |
0,494 |
0,495 |
0,496 |
0,496 |
0,497 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
t, c |
9,9 |
10 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
0,503 |
0,502 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
0,503 |
0,503 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
0,497 |
0,498 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
1,000 |
1,000 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Графики переходной характеристики, построенные на основе аналитического и численного расчетов, представлены на рисунке 14. График, соответствующий численному расчету, изображен штриховой линией.
Рисунок 14 – Переходные характеристики, рассчитанные аналитически и численно