ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИИ

Кафедра технической кибернетики

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ МАЛОГО ЧИСЛА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ

Вариант -24

Выполнил: студент гр. ИВТ-227б

Мустафина К. И.

Проверил: профессор каф. ТК

Гвоздев В. Е.

Уфа 2023

Цель работы: Изучение специальных статистических методов анализа малых выборок.

Задание №1:

1.1. На основе выборочных данных (таблица 2 приложения) построить оценки законов распределения наработки до отказа следующими методами:

• последовательных медиан;

• уменьшения неопределенности;

• сжатия ИЗР.

1.2. Составить полученные оценки на основе следующих метрик:

• 

• 

• 

Где i, j – идентификаторы используемых методов (i, j =   );

a, b – границы области изменения случайной величины x

Задание №2:

1. На основе выборочных данных (Таблица 2 приложения), построить оценку неусеченного закона распределения.

2. Произвести сопоставление полученной оценки с нормальным законом распределения, у которого математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение определены по выборочным данным Сопоставление произвести на основе метрик ХИ-квадрат и F-критерия Колмогорова (см. работу «Построение оценок законов распределения случайных величин по выборочным данным»).

Исходные данные:

X	24
1	24,6
2	26,4
3	25,0
4	26,0
5	25,3
6	24,3
7	25,8
8	25,4
9	25,4
10	25,3
11	24,8
12	24,6
13	25,1
14	24,7
15	24,5
16	24,5
17	25,8
18	25,4
19	25,4
20	24,6
21	24,1
22	25,8
23	25,4
24	25,8
25	25,7
26	25,2
27	24,1
28	26,2
29	25,0
30	26,1

Задание 1.1:

Метод последовательных медиан:

Исходные данные {x₁, x₂,..., x_N} располагаются в вариационный ряд, находится медиана этого ряда и на графике эмпирической функции распределения ставится точка с координатами и =0.5. Затем находятся медианы двух половин вариационного ряда и им в соответствие ставятся значения эмпирической функции 0.25 и 0.75 и т.д. Указанная процедура продолжается до тех пор, пока не будут рассмотрены все имеющиеся значения x_i(i=1,2,...,N). В результате получается ряд точек F_n (х).

Нахождение начального и конечного значений функций распределения осуществляется по формулам

(11)

, (12)

где .

Здесь x₁, x₂ первые два члена вариационного ряда, - оценка моды функции распределения. При малом числе опытных данных считается, что оценка моды совпадает с оценками медианы по выборке.

Медиана выборки:  M_e=25,3

Таблица последовательных медиан и значений эмпирической функции распределения:

16,9	0
17	0,0625
17,1	0,125
17,2	0,1875
25,1	0,25
25,1	0,25
17,5	0,3125
17,6	0,375
17,7	0,4375
17,85	0,5
25,3	0,5
18	0,5625
18,1	0,625
18,2	0,6875
25,4	0,75
25,4	0,75
18,5	0,7625
18,6	0,875
18,7	0,9375
18,8	1

По полученным данным был построен график функции распределения, изображенный на рисунке 1.

Рисунок 1. График функции распределения

Метод уменьшения неопределенности:

Выражение для эмпирической функции распределения, получаемой с помощью МУН, записывается в виде: 

при x_i-1xx_i и 

где   - число одинаковых значений x_i. МУН является частный.

При расчете получились следующие значения F(x_i):

24,1	0,06
24,1	0,10
24,3	0,09
24,5	0,16
24,5	0,19
24,6	0,25
24,6	0,28
24,6	0,32
24,7	0,28
24,8	0,31
25	0,37
25	0,41
25,1	0,41
25,2	0,44
25,3	0,50
25,3	0,53
25,4	0,66
25,4	0,69
25,4	0,72
25,4	0,76
25,4	0,79
25,7	0,69
25,8	0,81
25,8	0,85
25,8	0,88
25,8	0,91
26	0,84
26,1	0,88
26,2	0,91
26,4	0,94

График функции распределения, полученный методом уменьшения неопределенности представлен на рисунке 2.

Рисунок 2. График функции распределения

Метод сжатия ИЗР

Наиболее предпочтительным при инженерных расчетах является алгоритм, основанный на минимизации дисперсии. В этом случае члены ряда (7) определяются следующим образом: 

Рассчитанные значения a_i:

xi	i	ai
24,1	1	0,03
24,1	2	0,06
24,3	3	0,10
24,5	4	0,13
24,5	5	0,16
24,6	6	0,19
24,6	7	0,23
24,6	8	0,26
24,7	9	0,29
24,8	10	0,32
25	11	0,35
25	12	0,39
25,1	13	0,42
25,2	14	0,45
25,3	15	0,48
25,3	16	0,52
25,4	17	0,55
25,4	18	0,58
25,4	19	0,61
25,4	20	0,65
25,4	21	0,68
25,7	22	0,71
25,8	23	0,74
25,8	24	0,77
25,8	25	0,81
25,8	26	0,84
26	27	0,87
26,1	28	0,90
26,2	29	0,94
26,4	30	0,97

Полученный график изображен на рисунке 3.

Рисунок 3. График функции распределения