Что называют конвективной диффузией? Выведите дифференциальное уравнение конвективной диффузии, указав допущения и приведя обозначения соответствующих величин.
Конвективная диффузия характеризуется перемещением вещества движущимися частицами по тока в условиях турбулентного движения фаз. Конвективный перенос вещества под действием турбулентных пульсаций иногда называют турбулентной диффузией.
Для вывода уравнений конвективного переноса массы воспользуемся основным уравнением переноса субстанций:
где
– потенциал переноса массы;
плотность потока массы;
– источник переноса массы (принимаем,
что
,
так как дополнительный подвод массы
к потоку отсутствует).
В процессах массопередачи потенциалом
переноса
является концентрация
,
поэтому
.
Плотность потока массы q складывается
из двух составляющих:
где
– плотность молекулярного переноса
массы
(по первому закону Фика);
– плотность конвективного переноса
массы
.
Тогда основное уравнение переноса массы:
причем
Поскольку при условии неразрывности
потока величина
,
то уравнение принимает вид:
Таким образом, после проведенных преобразований уравнение (5.1) обращается в дифференциальное уравнение конвективной диффузии:
которое выражает в общем виде распределение концентрации компонента в движущемся потоке при неустановившемся процессе массопереноса.
Расчет системы дифференциальных уравнений, описывающих конвективный массоперенос, представляет большие трудности, и аналитическое решение этой системы уравнений оказывается практически целесообразным только в тех случаях, когда возможны существенные ее упрощения. Поэтому часто для решения этой задачи используют методы теории подобия. Критерии подобия выводят из дифференциального уравнения конвективной диффузии и дифференциальных уравнений теории теплообмена.
Выведите дифференциальное уравнение молекулярной диффузии (II закон Фика), указав допущения и приведя обозначения соответствующих величин.
Для вывода уравнения молекулярного переноса массы (второго закона Фика) воспользуемся основным уравнением переноса субстанций:
где – потенциал переноса массы; плотность потока массы; – источник переноса массы (принимаем, что , так как дополнительный подвод массы к потоку отсутствует).
В процессах массопередачи потенциалом переноса является концентрация , поэтому . Плотность потока массы q складывается из двух составляющих:
где
– плотность молекулярного переноса
массы
(по первому закону Фика);
– плотность конвективного переноса
массы
.
Тогда основное уравнение переноса массы:
причем
Поскольку при условии неразрывности потока величина , то уравнение принимает вид:
Таким образом, после проведенных преобразований уравнение (6.1) обращается в дифференциальное уравнение конвективной диффузии:
которое выражает в общем виде распределение концентрации компонента в движущемся потоке при неустановившемся процессе массопереноса.
В случае установившегося массобмена:
При массопередаче в неподвижной среде
,
получаем второе уравнение Фика:
которое описывает нестационарную диффузию в неподвижной среде.
Подобным преобразованием соответствующих дифференциальных уравнений получите критерии массобменного подобия. Каков физический смысл каждого из них?
Уравнение конвективной диффузии, поскольку процесс переноса массы протекает в потоке, должно быть дополнено уравнениями движения Навье-Стокса и неразрывности потока. Систему дифференциальных уравнений, описывающих конвективный массоперенос, следует дополнить также уравнениями, отражающими зависимость физических свойств фазы от ее состава. Расчет такой системы уравнений представляет большие трудности, и аналитическое решение этой системы уравнений оказывается практически целесообразным только в тех случаях, когда возможны существенные ее упрощения. Поэтому часто для решения этой задачи используют методы теории подобия.
Общность дифференциальных уравнений теплообмена
и массообмена:
позволяет полагать, что основные критерии массообменных процессов должны быть аналогичны основным критериям теплообмена.
Рассмотрим уравнения массопереноса на границе раздела фаз. Из одной фазы в другую переходит количество массы, равное
где
– равновесная концентрация на границе
раздела фаз.
Это же количество массы переносится молекулярной диффузией через пограничный слой:
В этих уравнениях трудноопределимы
величины
и
толщина пограничного слоя
,
через который проходит вещество
молекулярной диффузией. Отсюда:
Введем константы подобия
и
др.
Критерий Шервуда
(диффузионный критерий Нуссельта
)
характеризует подобие процессов
массообмена вблизи границы раздела фаз
и показывает соотношение между потоком
вещества, переносимым совместно
конвекцией и диффузией в ядре потока и
молекулярной диффузией в пограничном
слое.
Проведем подобное преобразование уравнения конвективной диффузии:
Первый комплекс при делении:
Диффузионный критерий Фурье
характеризует подобие неустановившихся
процессов массообмена. Представляет
собой меру отношения скорости изменения
концентрации, вызываемой молекулярной
диффузией, к суммарной общей скорости
изменения концентрация в любой точке
движущей силы.
Второй комплекс при делении:
Диффузионный критерий Пекле
характеризует отношение переноса
вещества конвекцией
к молекулярному переносу
в сходственных точках подобных систем.
Разделив диффузионный критерий Пекле на критерий Рейнольдса, получим:
Критерий Шмидта
(диффузионный критерий Прандтля
)
Характеризует подобие физических
свойств фаз в процессах конвективного
массообмена. Критерий Прандтля является
мерой подобия полей концентраций и
скоростей. Мера соотношения между
толщиной гидродинамического пограничного
слоя
и толщиной диффузного пограничного
слоя
.