10. Выведите основное уравнение гидростатики. Назовите практические приложения этого уравнения.

Рассмотрим стационарное движение физически бесконечно малого объема идеальной жидкости по линии тока, совпадающей с траекторией движения этой жидкой частицы. В проекциях на оси координат это движение описывается системой уравнений Эйлера:

Умножим правые и левые части системы уравнений (10.1) на соответствующие проекции элементарного пути, пройденного частицей: :

С учетом, что , просуммировав левые и правые части системы уравнений (10.2) получим:

В случае несжимаемой жидкости:

Откуда уравнение Бернулли или основное уравнение гидростатики имеет вид:

Чаще это уравнение записывают в таком виде:

Физический смысл слагаемых

– кинетическая энергия (динамический напор)

– потенциальная энергия (пьезометрический напор)

– положение точки на линии тока (геометрический напор)

– величина, меняющаяся для различных линий тока

Закон Паскаля из уравнения (10.3):

Давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях.

Практические приложения

1. Измерение расходов жидкостей и газов дроссельными устройствами.

2. Расчет истечения жидкости из отверстия в днище сосуда.

11. Вывод уравнения для распределения скорости по радиусу трубы при стационарном ламинарном течении.

Рассмотрим ламинарное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в прямой трубе круглого сечения.

Рисунок 11.1 – К выводу уравнения распределения скорости по радиусу трубы

Выделим в потоке жидкости, двигающейся по трубе с радиусом , цилиндрический слой длиной и радиусом . Поскольку все элементы жидкости двигаются с постоянной скоростью (стационарно), то сумма внешних сил, приложенных к выделенному объему, равна нулю. На цилиндрический объем жидкости действуют силы давления и силы трения.

Результирующая сила давления равна:

где и – давление на левое и правое основания выделенного цилиндра, –площадь основания цилиндра.

Движению выделенного цилиндра жидкости радиусом r оказывает сопротивление сила внутреннего трения

где – боковая поверхность цилиндра

Сумма внешних сил должна быть равна нулю с учетом того, что сила внутреннего трения направлена против потока жидкости:

Разделим переменные и проинтегрируем. Выражение для распределения скорости по трубе при ламинарном течении имеет вид:

12. Вывод уравнения неразрывности. Получите из уравнения неразрывности уравнение постоянства расхода для канала (трубопровода) с переменным поперечным сечением.

Рисунок 12.1 – Изображение канала к выводу уравнения постоянства расхода

Д ля движущейся жидкости в канале произвольной формы (рис. 12.1) запишем уравнения материального баланса.

Рисунок 12.2 – К выводу уравнения неразрывности

Рассмотрим в области течения произвольный объем , ограниченный поверхностью (рис. 12.2). В каждой точке этой поверхности проведем единичную нормаль . Будем считать, что источники массы внутри объема отсутствуют. Объемный поток жидкости, входящий в рассматриваемую область из жидкости, примыкающей к данному объему, то есть приток жидкости снаружи:

Массовый поток найдем, умножив подынтегральное выражение на плотность:

Произведение – массовая скорость или плотность массового потока.

Преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему:

Рассмотрим изменение массы жидкости в единицу времени внутри объема .

Приравнивая, получим:

Откуда уравнение неразрывности при неустановившемся течении:

Для стационарного движения изменение массы жидкости в единицу времени , поэтому уравнение неразрывности принимает вид:

Поскольку стенки непроницаемые, имеем равенство:

Найдем положительные величины средней массовой скорости для сечений 1 и 2 (рис. 12.1), используя определение дивергенции.

Из уравнений (12.1) и (12.2) получим уравнение неразрывности в интегральной форме:

В случае, когда плотность не меняется по сечению, имеем:

Для несжимаемой жидкости уравнение постоянства расхода: