Проведите подобное преобразование уравнений Навье-Стокса для установившегося течения с получением обобщенных переменных (критериев гидродинамического подобия).
Запишем уравнение Навье-Стокса для одномерного потока
Для установившегося
течения
,
тогда уравнение принимает вид:
Введем в уравнение (4.1) константы подобия
Из уравнения (4.2) получим
Разделим каждый член в уравнении (4.3) на
Второй комплекс при делении:
Eu – критерий Эйлера – отражает отношение сил давления или перепада давлений к силам инерции.
Третий комплекс при делении:
Fr – критерий Фруда – отражает отношение сил инерции к силам тяжести (гравитационный критерий).
Четвертый комплекс при делении:
Re – критерий Рейнольдса – характеризует отношение сил инерции к силе внутреннего трения и определяет режим движения жидкости во всех сходственных точках подобных систем.
Преобразование уравнений Навье-Стокса для покоящейся жидкости. (Уравнения Эйлера, основное уравнение гидростатики, закон Паскаля).
Запишем уравнение Навье-Стокса:
При отсутствии
сил вязкого трения
.
Уравнение Навье-Стокса (7.1) переходит в
уравнение Эйлера:
Из уравнения (7.2) получим систему уравнений Эйлера:
Умножим правые и
левые части системы уравнений (7.3) на
соответствующие проекции элементарного
пути, пройденного частицей:
:
С учетом, что
,
просуммировав левые и правые части
системы уравнений (7.4) получим:
В случае несжимаемой жидкости:
Откуда уравнение Бернулли или основное уравнение гидростатики имеет вид:
Чаще это уравнение записывают в таком виде:
Закон Паскаля из уравнения (7.5):
Давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях.
Вывод дифференциальных уравнений Эйлера для течения идеальной жидкости. Чем отличается идеальная жидкость от реальной?
В потоке идеальной жидкости в отличие ор реальной будут действовать только нормальные напряжения (в реальной действуют еще и касательные, то есть имеет место быть внутреннее трение в жидкости). Рассмотрим одномерный поток движения идеальной жидкости. Выделим параллелепипед, грани которого ориентированы по осям координат.
Рисунок
8.1 – К выводу дифференциальных уравнений
Эйлера для течения идеальной жидкости
Движение однонаправленное, поэтому
Сила давления:
Сила тяжести:
Из уравнения неразрывности при следует, что , поэтому ускорение .
Уравнение баланса сил:
Сократим в (8.1)
величину элементарного объема
:
Уравнение (8.2) отражает баланс сил и баланс импульса (количества движения). Физический смысл: левая часть – скорость изменения импульса в единице объема. Правая – поток импульса, входящий в единицу объема.
В общем случае, когда вектор скорости направлен произвольно, уравнения движения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости в проекциях на оси координат (система уравнений Эйлера) имеют вид:
Уравнение Эйлера в векторной форме:
Физический смысл слагаемых
– изменение импульса (потока материи) в единице объема
– сила тяжести жидкости
– действующее на жидкость гидравлическое давление
Вывод дифференциальных уравнений Эйлера равновесия жидкости.
Рисунок
9.1 – К выводу уравнения Навье-Стокса
Движение
однонаправленное, поэтому
Сила давления:
Сила тяжести:
Уравнение баланса сил:
Сократим в (9.1) величину элементарного объема :
В общем случае, когда вектор скорости направлен произвольно, уравнения движения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости в проекциях на оси координат (система уравнений Эйлера равновесия жидкости) имеют вид:
Уравнение Эйлера равновесия жидкости в векторной форме:
Физический смысл слагаемых
– сила тяжести жидкости
– действующее на жидкость гидравлическое давление