Раздел 2 законы переноса количества движения, энергии, массы

2.1 Понятие идеальной и реальной жидкости

Многие химико-технологические процессы протекают в условиях жидкой среды. Эти разнообразные жидкости приходится хранить, транспортировать по трубопроводам, нагревать, перемешивать. Жидкости в ходе технологического процесса контактируют с другими жидкостями, газами или парами, с твердыми продуктами. Рациональное аппаратурно-технологическое оформление перечисленных процессов невозможно без знания законов равновесия и движения жидкостей. Поэтому рассмотрим некоторые вопросы технической гидравлики, включающей гидростатику (изучение законов равновесия жидкости) и гидродинамику (законы ее движения).

В гидравлике жидкости, газы и пары называются жидкостями, так как при скоростях, значительно меньших скорости звука, законы движения жидкостей справедливы для газов и паров.

Поэтому будем различать в дальнейшем капельные жидкости и газообразные жидкости.

Капельными считаются жидкости, встречающиеся в природе, - вода, нефть и др. Они оказывают сопротивление изменению объема и трудно поддаются сжатию. Изменение давления и температуры оказывают малое влияние на изменение из объема.

Газообразные жидкости (газы, пары) значительно изменяют объем при изменении давления и температуры.

Капельные жидкости (в дальнейшем называемые просто жидкостями) практически не оказывают сопротивления растягивающим усилиям. Этим объясняется существование капель, мыльных пузырей. На поверхности жидкости проявляются силы поверхностного натяжения, препятствующие разрыву. Силы сопротивления разрыву очень малы (примерно в 10 миллионов раз меньше, чем для стали). Поэтому принимается, что в жидкостях растягивающие усилия отсутствуют. Однако, жидкости оказывают существенное сопротивление сдвигающим силам, которое проявляется при движении жидкости в виде внутреннего трения (вязкости).

Жидкости обладают текучестью, что проявляется в неспособности самостоятельно удерживать свою форму. В гравитационном поле жидкости имеют свободную поверхность, по которой они соприкасаются с газами или другими жидкостями, и твердые поверхности, ограничивающие объем жидкости (стенки и дно аппарата).

Жидкость представляется совокупностью элементарных объемов тел.

Для получения более простых математических выражений, описывающих движение жидкости, вводится модель идеальной жидкости.

Под идеальной понимается жидкость обладающая абсолютной текучестью вследствие отсутствия сцепления между молекулами, имеющими возможность свободно перемещаться относительно друг друга, т.е. идеальная жидкость совершенно не сопротивляется растяжению и сдвигу, абсолютно несжимаема и характеризуется постоянной плотностью ( const).

В отличии от идеальной реальная жидкость в некоторой степени сопротивляется растяжению (явление липкости) и сдвигу (свойство вязкости), будучи более или менее сжимаемой.

2.2 Основные физические свойства жидкости

К основным физическим свойствам относятся:

- плотность жидкости или масса единицы объема жидкости

, кг/м . (2.1)

Плотность смеси жидкости ( ) в зависимости от способа выражения состава можно определить по уравнениям

, (2.2)

где - плотность индивидуальной жидкости,

- объемная доля индивидуальной жидкости,

, (2.3)

где - массовая доля индивидуальной жидкости.

Относительная плотность ( ) - плотность жидкости при данной температуре, отнесенная плотности воды при этой или другой температуре.

Плотность газов и паров при рабочих значениях температуры (T) и давлении (Р) определяется по уравнению

кг/м , (2.4)

где - температура и давление при нормальных условиях (н.у. =273 К ; =0,1 МПа)

- плотность газа при н.у.

, (2.5)

где - мольная масса газа, кг/кмоль;

22,4 – объем, занимаемый одним кмолем газа, м /кмоль.

- удельный вес жидкости – вес единицы объема жидкости

, Н/м . (2.6)

- коэффициент температурного расширения – величина, показывающая относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на один градус.

град ,

Так, для большинства жидкостей эта величина незначительна:

для воды в диапазоне от 0 до 100 208 10 град ,

для глицерина 500 10 град ,

для этанола 1100 10 град .

- коэффициент объемного сжатия ( ), показывающий уменьшение объема жидкости при повышении давления на 1 Па.

Па (2.7)

Для жидкости становится заметным лишь при высоких давлениях. Так под давлением 10 Па и =20°С ртуть уменьшается в объеме на 4%, глицерин – на 13,4%, вода – на 20,9%, метанол – на 24,4%.

- поверхностное натяжение вызвано стремлением жидкости уменьшить свою поверхность под действием сил взаимного притяжения молекул. Оно оценивается коэффициентом поверхностного натяжения, представляющим собой силу поверхностного натяжения (F), приходящуюся на единицу длины линии раздела (l)

, Н/м. (2.8)

Величина зависит от природы жидкости и уменьшается с ростом температуры. Она сравнительно велика для ртути, металлических и солевых растворов, воды, но мала для органических жидкостей и очень мала для сжиженных газов.

- вязкость – свойство жидкости (газа) оказывать сопротивление при относительном сдвиге отдельных частиц. Вязкость является следствием внутреннего трения в жидкости. В соответствии с законом Ньютона-Петрова сила трения пропорциональны градиенту скорости (или скорости сдвига) и поверхности соприкосновения данных слоев жидкости

, (2.9)

где - сила трения, Н;

- площадь поверхностного слоя, м ;

- градиент скорости;

- коэффициент динамической вязкости, Па*с;

- скорость слоя жидкости, м/с;

- расстояние между двумя слоями по нормали.

Коэффициент пропорциональности зависит от природы данной жидкости и внешних условий (температуры, давления). Он называется коэффициентом внутреннего трения или абсолютной вязкостью (иногда коэффициентом молекулярной динамической вязкости).

Рисунок 2.1 - Эпюра скоростей

.

Сила внутреннего трения, приходящаяся на 1 м площади соприкосновения слоев жидкости есть напряжение трения

. (2.10)

Величины и могут быть положительны или отрицательны в зависимости от выбранного направления отсчета n.

В инженерных расчетах пользуются кинематической вязкостью , выражающей отношение коэффициента абсолютной вязкости к плотности жидкости

м /с. (2.11)

Вязкость жидкостей и газов зависит от температуры и определяется по справочной литературе.

2.3 Классификация реальных жидкостей

Закон Ньютона (2.9) справедлив для жидкостей с небольшой мольной массой, вязкость которых является функцией температуры и давления, но не зависит от скорости сдвига . У таких жидкостей, называемых ньютоновскими, зависимость от (кривая течения) является линейной (линия 1 рисунок 2.2). Жидкости, обнаруживающие зависимость вязкости от скорости сдвига, называются неньютоновскими, их кривая течения нелинейна. Различают жидкости, у которых

- скорость сдвига в данной точке зависит только от напряжения в этой точке (реологически-стационарные жидкости);

- скорость сдвига зависит от продолжительности действия напряжения (реологически-нестационарные жидкости);

- сочетание свойства жидкости и твердого тела, проявляющееся в виде упругого восстановления формы после снятия напряжения (вязко-упругие жидкости).

Жидкости первой группы по характеру зависимости подразделяются на три типа

- бингамовские жидкости (линия 2, рисунок 2.2)(густые шламы, буровые полимеры, масляные краски), для которых справедлива зависимость

, (2.12)

где - предел напряжения, превышение которых ведет к вязкому течению;

- пластическая вязкость;

При жидкость течет как ньютоновская с касательным напряжением ;

- псевдопластические жидкости (кривая 3 рисунок 2.2)(суспензии, содержащие ассиметричные частицы, полимеры), для которых

, (2.13)

причем а<1 (а – мера отклонения от ньютоновской жидкости, для которой а=1).

Рисунок 2.2 - Кривые течения идеальной (1) и реальных жидкостей

Эти жидкости не имеют предела текучести и отличаются падением кажущейся вязкости с ростом скорости сдвига;

- дилатантные жидкости (кривая 4 рисунок 2.2)(суспензии с большим содержанием твердой фазы) не имеют предела текучести, но их кажущаяся вязкость растет с увеличением скорости сдвига (а>1)

. (2.14)

Неньютоновские жидкости второй группы разделяются на

- тиксотропные, у которых напряжение сдвига падает со временем (при постоянной скорости сдвига);

- реопектические, у которых напряжение сдвига растет со временем (при постоянной скорости сдвига).

Это объясняется постепенным разрушением структуры при деформации. Причем тиксотропия является обратимым свойством. Реопектическим жидкостям свойственно структурообразование при сдвиге. Например, 42%-ая смесь воды и гипса после встряхивания (разрушения структуры) затвердевает по истечении 40 минут, а при медленном перекатывании (способствующем образованию структуры) – по истечении 20 секунд.

Вязко-упругие жидкости (смолы, высоковязкие суспензии и эмульсии) проявляют одновременно вязкое течение и упругое восстановление формы.

2.4 Силы, действующие в жидкости

Внешние силы, действующие в жидкости, можно разделить на две группы:

- поверхностные, пропорциональные поверхности действия (силы давления, силы трения), они имеют место как в покоящейся, так и в движущейся жидкости;

- массовые (или объемные), пропорциональные массе (силы тяжести, силы центробежные, силы трения), массовые силы могут иметь любое направление в пространстве.

2.5 Струйная модель потока жидкости

Ввиду большого числа переменных величин, характеризующих движение жидкости, сложности наблюдаемых явлений, а также трудности математического анализа, пользуются некоторой условной схемой, которой заменяют действительное движение жидкости. Такой схемой, наиболее полно отвечающей представлениям о движении жидкости, является схема расчленения потока жидкости на элементарные струйки. Эта модель получила название струйной модели движения жидкости.

Основные положения струйной модели

1 Кривая, касательные к которой в любой точке совпадают с направлением вектора скорости, называется линией тока.

Л иния тока связывает разные элементарные объемы жидкостей и характеризует направление их движения в данный момент времени.

Рисунок 2.3 - Линия тока

2 Множество линий тока образуют трубку тока.

Рисунок 2.4 - Трубка тока

3 Жидкость, заполняющая трубку тока, называется элементарной струйкой.

Элементарная струйка обладает следующими свойствами:

- форма элементарной струйки остается постоянной во времени, т.к. вид линий тока, из которых она состоит, во времени не меняется;

- поверхность элементарной струйки считается непроницаемой, поэтому частицы жидкости из одной элементарной струйки не могут попасть в другую;

- скорость во всех точках поперечного сечения элементарной струйки одинакова.

4 Множество элементарных струек образуют поток жидкости.

5 Площадь сечения, нормальная к направлению движения элементарных струек, называется живым сечением потока.

Если живое сечение потока совпадает с сечением трубы или канала, то такое движение называется напорным (движение жидкости в трубопроводе с насосом). Движение считается безнапорным, если жидкость имеет свободную поверхность.

Рисунок 2.5 - Напорное (а) и безнапорное (б) движение жидкости

6 Часть периметра живого сечения потока, соприкасающегося с ограничивающими его стенками, называется смоченным периметром (П).

7 Отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру называется гидравлическим радиусом.

. (2.15)

Для трубы круглого сечения диаметром d

. (2.16)

Диаметр трубы или канала, выраженный через гидравлический радиус называется эквивалентным диаметром

. (2.17)

8 Расход потока - количество жидкости, проходящей через живое сечение потока в единицу времени.

Различают объемный расход V, м /с, массовый расход G, кг/с.

Расход жидкости, прошедшей через живое сечение потока S, равен произведению средней скорости потока на площадь этого сечения, т.е.

, м /с. (2.18)

Выражение (2.18) называется уравнением расхода.

Взаимосвязь между массовым и объемным расходом жидкости имеет вид

, кг/с. (2.19)

З апишем уравнение расхода для двух произвольно выбранных сечений элементарной струйки. Учитывая свойство элементарной струйки можно записать

или (2.20)

Рисунок 2.6 - Элементарная струйка

Для потока жидкости последнее уравнение записывается через величину средней скорости и называется уравнением неразрывности (или сплошности) потока в гидравлической форме. Поток характеризуется средней скоростью движения. Поэтому индекс “ср” у скорости в последнем уравнении не записывается.

2.6 Режимы движения жидкости

О существовании различных движений жидкости было известно уже в конце 19 века. Было замечено, что жидкость может двигаться двояким образом. В одних случаях частицы жидкости движутся по параллельным траекториям, не перемешиваясь между собой, в других частицы жидкости движутся по сложным пространственным кривым и движение жидкости кажется беспорядочным. Впервые на это обратил внимание Хаген в 1869 году. Об этом же писал в своей работе “О сопротивлении тел и воздухоплавании” Д.И.Менделеев. О существовании различных режимов движения говорил Петров, разработавший теорию гидродинамической смазки подшипников. Наиболее полные исследования режимов движения жидкости были проведены в 1891-93 гг. английским физиком Осборном Рейнольдсом. Сущность его опытов сводилась к следующему:

При открытии крана 3 в стеклянной трубке 2 устанавливается определенный расход жидкости с определенной скоростью. Открывая или закрывая кран 3 можно увеличивать или уменьшать расход. При сравнительно малом открытии крана 3 расход жидкости мал и скорость мала. При этом струйка подкрашенной жидкости из бачка 4 будет двигаться параллельно оси трубопровода, не смешиваясь с остальным потоком проходящей воды (рисунок 2.7). При увеличении расхода и скорости движения жидкости струйка окрашенной жидкости теряет свою отчетливость, принимает волнообразный характер, а на отдельных ее участках появляются разрывы. При еще большем открытии крана и большой скорости течения окрашенная струйка разрывается на многих участках, размывается потоком воды, и весь объем воды равномерно окрашивается.

Движение жидкости при малых скоростях, когда отдельные слои жидкости движутся параллельно друг другу и оси потока, получило название ламинарного режима течения.

1 - сосуд; 2 - стеклянная труба; 3, 5-краны; 4 -напорная емкость; 6-капиллярная трубка

Рисунок 2.7 - Прибор Рейнольдса для изучения режимов движения жидкости

Движение при больших скоростях, когда частицы жидкости движутся по пространственным траекториям, а сами частицы интенсивно перемешиваются при движении, получило название турбулентного режима движения. Несмотря на кажущуюся беспорядочность движения турбулентный режим имеет свои закономерности.

Критическая скорость и число Рейнольдса.

На основании анализа результатов опытных исследований и анализа размерностей Осборн Рейнольдс предложил безразмерный критерий

, (2.21)

называемый позднее числом Рейнольдса,

где - средняя скорость, м/с;

- диаметр трубы, м;

- кинематический коэффициент вязкости жидкости.

По другому

, (2.22)

где - плотность жидкости, кг/м ;

- коэффициент динамической вязкости.

Число Рейнольдса является критерием динамического подобия потоков и физически представляет отношение сил инерции к силам вязкости, действующим в потоке.

В результате экспериментов установлено, что при заданном диаметре трубки d и коэффициенте кинематической вязкости один режим переходит в другой при совершенно определенной средней скорости движения потока. Скорость, при которой происходит смена режимов движения, называется критической.

Различают две критические скорости: верхнюю и нижнюю . При нижней критической скорости ламинарный режим движения переходит в турбулентный; при верхней - турбулентный режим движения переходит в ламинарный. При этом всегда

Соответственно двум критическим скоростям соответствует два критических числа Рейнольдса:

; (2.23)

. (2.24)

В результате опытов было установлено, что нижнее критическое число ; . Тогда для критической скорости можно записать:

; (2.25)

; (2.26)

Следовательно, верхняя критическая скорость приблизительно в 6 раз больше.

В опытах Рейнольдса критические числа имеют следующие значения: ; .

Считают, что во всех случаях, когда число Рейнольдса больше или равно 13800 – режим движения турбулентный, а во всех случаях, когда =2320 – ламинарный. Если , то можно наблюдать некоторую переходную зону, режим течения в которой неустойчив и может изменяться вследствии самых незначительных причин. Поэтому при расчетах в гидравлике эту зону вообще выбрасывают из рассмотрения и считают, что существует только одно число Рейнольдса .

В этом случае - режим турбулентный; если - режим ламинарный.

Для труб некруглого сечения число Рейнольдса записывается через гидравлический радиус ( ).

; (2.27)

. (2.28)

Если - турбулентный режим; если - ламинарный режим.

2.7 Ламинарный режим движения жидкости

Рассмотрим движение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе радиусом . При ламинарном режиме отдельные струйки движутся параллельно друг другу. Стенки, вдоль которых происходит движение, покрываются прилипшими к ним частицами жидкости; скорость движения непосредственно на стенке равна нулю. Первый пристенный движущийся слой жидкости будет скользить по стенке, покрытой прилипшими частицами.

Распределение скоростей по сечению ламинарного потока соответствует закону параболы, имеющей максимум на оси (рисунок 2.8). Можно доказать, что средняя скорость равна половине максимальной, т.е. .

Рисунок 2.8 - Распределение скоростей по сечению потока при ламинарном режиме движения

2.8 Основные характеристики турбулентного потока

Как отмечалось ранее, турбулентный режим движения наступает когда . С увеличением числа Re увеличивается и скорость течения жидкости, а это приводит к тому, что основное движение теряет устойчивость. Случайно возникшие колебания не затухают с увеличением Re, а усиливается, что приводит к возникновению колебательного процесса другой частоты. При еще большем возрастании числа Re и это колебательное движение теряет свою устойчивость. Следовательно, турбулентный режим движения можно рассматривать, как колебательный процесс, происходящий с разными частотами и амплитудами и имеющий разные начальные фазы.

Распределение по поперечному сечению потока до настоящего времени не изучено ввиду сложности этого движения.

Составление эпюр турбулентного и ламинарного движений позволяет сделать выводы:

- при том и другом видах движения максимальная скорость наблюдается на оси потока;

- минимальная скорость, равная нулю, наблюдается на стенках трубы.

Разница эпюр в первую очередь заключается в следующем:

- градиент скорости в центральной части потока при турбулентном движении гораздо меньше, чем при ламинарном;

- изменение скорости в непосредственной близости от стенок трубы при турбулентном режиме движения происходит резче, чем при ламинарном.

В непосредственной близости от стенок трубы вследствие тормозящего действия жидкость движется по закону ламинарного режима. Толщина ламинарной пленки ( ), которая при этом образуется, будет зависеть от скорости.

или . (2.29)

Толщина пленки будет уменьшаться с увеличением скорости и числа Re и наоборот. Вслед за пленкой идет также весьма малый переходный слой, в пределах которого осуществляется переход от ламинарного к турбулентному режиму. Пленка с переходным слоем образует пограничный слой, за пограничным идет ядро потока (осевая часть потока).

При движении жидкости в случае турбулентного режима происходит наталкивание струек друг на друга. В результате этого частицы жидкости из одной элементарной струйки переходят в другую с переносом количества движения. В этом заключается характерная особенность и главнейшее отличие турбулентного режима движения от ламинарного. Кроме того, в случае турбулентного режима происходит турбулентное перемешивание потока, связанное с соударением струек, а последнее приводит к пульсации скорости в рассматриваемой точке пространства.

Р исунок 2.9 - Распределение скоростей по сечению потока при турбулентном режиме движения

2.8.1 Понятие гидравлически гладкой и шероховатой стенки

Любая стенка не является абсолютно гладкой. Она в той или иной степени шероховатая. Шероховатость зависит от материала стенки, способа обработки, эксплуатации.

Различают два вида шероховатости:

- волновая;

- зубчатая.

Рисунок 2.10 - Волновая (а) и зубчатая (б) шероховатости

Обобщая и идеализируя понятие шероховатости, будем представлять её в виде однородных бугорков с абсолютной высотой . Такую шероховатость называют абсолютной шероховатостью (мм, мк).

Отношение абсолютной шероховатости к радиусу или диаметру трубы называется относительной шероховатостью .

Величина, обратная относительной шероховатости ( ) называется относительной гладкостью.

Если сопоставить величину абсолютной шероховатости с толщиной ламинарной пленки , то можно наблюдать три случая:

1 толщина пленки намного превышает величину абсолютной шероховатости . В этом случае потери напора не будут зависеть от степени шероховатости стенок трубы: жидкость скользит по ламинарному подслою, и имеет место трение жидкости о жидкость. Говорят о гидравлически гладких стенках.

2 . Здесь потери напора в значительной степени зависят от шероховатости стенок, так как в этом случае трение жидкости происходит о шероховатую поверхность. В этом случае говорят о гидравлически шероховатых стенках. Необходимо отметить, что понятие гладкой стенки является относительным, так как толщина ламинарного подслоя зависит от числа Re, уменьшаясь с его увеличением.

3 Можно выделить так называемый промежуточный случай, когда .

2.9 Основное уравнение переноса субстанции

Протекание любого химико-технологического процесса связано с переносом какой-либо одной субстанции – количества движения (импульса), теплоты, вещества (массы) либо с переносом нескольких субстанций одновременно. Поэтому для решения многих задач гидродинамики, тепло- и массообмена необходимо знать распределение скоростей, концентраций и температур во времени и пространстве.

В движущейся жидкости выделим произвольный её объем , ограниченный поверхностью . Если объемные силы (тяжести, инерции и центробежные) не изменяются во времени (консервативны), то их можно заменить потенциалом переноса .

Потенциал переноса - удельная, т.е. отнесенную к единице объема масса, энергия или количество движения.

При переносе массы потенциалом является масса единицы объема, т.е. плотность ( ) или объемная концентрация (С)

, кг/м (2.30)

или , кг/м . (2.31)

где - масса i-го компонента смеси.

При переносе энергии (теплоты) в качестве потенциала рассматривается энтальпия (h) единицы объема жидкости

, Дж/ м , (2.32)

где - теплоемкость жидкости, Дж/кг*град.

В гидродинамических процессах потенциалом переноса является количество движения (импульса) единицы объема жидкости. Из физики известно, что количество движения – произведение массы на вектор скорости, т.е. . Тогда

, . (2.33)

Перенос тепла или массы вещества через рассматриваемую поверхность S осуществляется двумя видами механизма:

- молекулярный перенос, обусловленный стремлением системы к термодинамическому равновесию;

- конвективный, обусловленный наличием поля скоростей в движущейся среде.

Молекулярный перенос определяется хаотическими перемещениями молекул среды, переносящих массу, энергию и импульс, и ведет к усреднению соответствующей субстанции в рассматриваемом объеме жидкости. Он является определяющим механизмом переноса субстанции в неподвижных средах и в ламинарно движущихся потоках и описывается линейными градиентными законами.

- перенос массы (первый закон Фика)

, (2.34)

где D - коэффициент диффузии, м /с;

- перенос энергии (теплоты) (закон Фурье)

, (2.35)

где - коэффициент теплопроводности, Дж/(м*с*град);

Совместное решение уравнений (2.32) и (2.35) позволяет получить выражение

, (2.36)

где - коэффициент температуропроводности, м /с;

- перенос количества движения (закон Ньютона)

. (2.37)

Учитывая уравнение (2.33), можно записать

, (2.38)

где - коэффициент кинематической вязкости, м /с.

В выражениях (2.34-2.38) - плотность потока (отнесенного к единице площади) необратимого или молекулярного переноса соответствующей субстанции.

Аналогия вышеописанных математических выражений показывает сходство физических явлений, лежащих в основе переноса.

Для газов можно говорить о весьма близкой аналогии, так как значения коэффициентов молекулярного переноса близки ( ).

Для жидкостей эти значения различны, поэтому аналогия процессов переноса носит ограниченный характер.

Идентичность уравнений молекулярного переноса массы , энергии и импульса позволяет записать обобщенное выражение

, (2.39)

где - коэффициент пропорциональности.

При конвективном переносе масса, энергия и импульс транспортируются в объеме макрочастиц, движущихся со скоростью . Плотность конвективного потока субстанции на каждом участке поверхности можно выразить уравнением

. (2.40)

В случае молекулярного и конвективного переноса массы или энергии плотность потока складывается из двух составляющих

. (2.41)

Без вывода запишем основное уравнение переноса субстанций – массы, энергии и количества движения

, (2.42)

где - внутренний источник субстанции (массы, энергии, импульса).

В случае отсутствия внутреннего источника субстанции ( =0) основное уравнение переноса субстанции принимает вид

. (2.43)

Основное уравнение переноса субстанции позволяет получить выражения, описывающие поля температур, скоростей и концентраций для однофазных сплошных и затратных потоков, с помощью которых можно проводить анализ многих химико-технологических процессов.

2.9.1 Уравнение переноса теплоты (дифференциальное уравнение конвективного теплообмена)

Уравнение переноса теплоты запишем для однофазной сплошной изотропной среды. Принимаем, что теплоемкость, теплопроводность и плотность среды постоянны, т.е. , , ; внутренний источник энергии отсутствует ( =0), тепловое излучение отсутствует ( =0).

Тогда основное уравнение переноса субстанции (2.43) для случая переноса теплоты при выше указанных допущениях принимает вид

; (2.44)

Раскрывая скобки и считая , запишем

; (2.45)

Дивергенцию от , как и от любого произведения векторной величины на скалярную, можно представить в виде

; (2.46)

Для несжимаемой жидкости ( )

; (2.47)

Решением правой части уравнения (2.45) является выражение

, (2.48)

где - оператор Лапласа.

С учетом принятых допущений и полученных решений уравнение (2.46) можно записать

. (2.49)

Данное уравнение выражает в общем виде распределение температур в движущемся потоке при неустановившемся процессе переноса теплоты и называется дифференциальным уравнением конвективного переноса теплоты или уравнением Фурье-Кирхгофа.

Для установившегося процесса переноса теплоты 0. Тогда уравнение (2.49) имеет вид

. (2.50)

В неподвижной среде ; тогда уравнение (2.49) запишется в виде

. (2.51)

Выражение (2.51) называется дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде или уравнением Фурье.

2.9.2 Уравнение переноса массы (дифференциальное уравнение конвективной диффузии)

Рассмотрим перенос массы в неразрывном потоке жидкости при условии постоянства коэффициента молекулярной диффузии (D=const) и отсутствии источников массы ( =0).

Основное уравнение переноса субстанций (2.42) для данного процесса, учитывая, что потенциалом переноса является концентрация, запишется в виде

. (2.52)

Проводя преобразования, аналогичные сделанным при выводе уравнения конвективного теплообмена, можно записать

. (2.53)

Для неразрывного потока 0. Тогда

, (2.54)

или в развернутом виде

. (2.55)

Уравнение (2.55) выражает в общем виде распределение концентраций компонента в движущемся потоке при неустановившемся процессе переноса массы. Оно называется дифференциальным уравнением конвективной диффузии.

Для установившегося процесса переноса массы 0; тогда

. (2.56)

В неподвижной среде , и уравнение (2.55) обращается в дифференциальное уравнение молекулярной диффузии

, (2.57)

которое носит название второго закона Фика и описывает распределение концентраций вещества в неподвижной среде.

2.9.3 Уравнения переноса количества движения (уравнения Навье-Стокса)

На перенос количества движения оказывают влияние силы давления и тяжести; кроме того, импульс является векторной величиной (в отличие от скалярной температуры). Поэтому без вывода запишем систему уравнений, описывающих перенос импульса при течении изотропной вязкой несжимаемой жидкости

(2.58)

Данная система уравнений характеризует движение жидкости, обладающей силой инерции и находящейся под действием сил давления, тяжести и трения. Все силы отнесены к единице объема жидкости (Н/м ).

Система уравнений называется системой уравнений Навье-Стокса.

В общем случае система уравнений Навье-Стокса аналитически не может быть решена. Решения получены лишь для упрощенных частных случаев.

Для идеальной жидкости ( =0) уравнения Навье-Стокса переходят в дифференциальные уравнения Эйлера.

(2.59)

Интегрируя эти уравнения можно получить уравнение Бернулли, широко используемое для решения технических задач.

В случае покоящейся жидкости ( ) уравнения Навье-Стокса переходят в дифференциальные уравнения Эйлера для гидростатики.

(2.60)

Интегралом этих уравнений является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерной практике.

Кроме того, система уравнений Навье-Стокса, записанная для одномерного движения, позволяет получить критериальное уравнение гидродинамики, широко применяемое в расчетной практике.