samoilov_n_a_modelirovanie_v_himicheskoi_tehnol

71

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА СТОХАСТИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Поскольку стохастические модели представляют собой формальные алгебраические уравнения, разработанные на основе экспериментальных данных, то, в отличие от детерминированных моделей, эти модели можно получать на базе единых принципов для любых задач моделирования.

Стохастические алгебраические модели чаще всего формируют в виде степенных зависимостей, когда параметр процесса Х выступает в качестве основания степени, например,

Подобного рода уравнения часто называют уравнением регрессии. Регрессией в общем случае называется истинное изменение величины одного из выходных параметров системы (например, Y ) при изменении

вектора входных параметров X . Поскольку в ходе эксперимента мы

бесконечный полином (3.1) ограничивают некоторым членом, внося погрешность в расчет Y , то эквивалентом (3.1) в качестве приближенной регрессии является уравнение вида

Докажем правомочность использования формального полиномиального уравнения регрессии в качестве математической модели изучаемого процесса. Из теории рядов известно, что любую непрерывную и дифференцируемую функцию (а именно из подобных выражений формируются детерминированные модели)

которую сложно, а порой невозможно рассчитать аналитически, можно разложить в бесконечный ряд, например, Тейлора:

72

где i =1, 2, …, N – число параметров Х, К – порядок производной .

Так как ряд Тейлора сходится, то можно оборвать ряд на любом члене разложения и рассчитать сумму членов остатка бесконечного ряда, характеризуя ею погрешность расчета Y с применением теории рядов.

Производные в ряде Тейлора (3.3) можно интерпретировать как численные значения коэффициентов бесконечного полинома

производным и т.д. и имеют с позиций математической статистики смысл генеральных оценок, то есть наиболее достоверных численных значений коэффициентов . Нетрудно увидеть, что уравнение (3.4) является полиномом. В отличии от ряда (3.4), конечное уравнение регрессии не позволяет рассчитать погрешность расчета Y в виде суммы членов недостающей части бесконечного полинома, что и приводит к погрешности расчета Y по уравнению регрессии, эквивалентному (3.4) и записанному в виде:

так как в ходе обработки экспериментальных данных рассчитываются не генеральные оценки , а их вероятностные оценки В , величина которых зависит от числа опытных данных и погрешности измерений в эксперименте, то есть значения В имеют вероятностный характер. Уясним эту ситуацию на простом примере.

Допустим, что разрабатывается зависимость

которая является линейной, тогда она может быть описана уравнением прямой линии

Допустим, что усомнившись в качестве выполненного эксперимента мы решили его повторить, при этом новые точки располагаются на рис. 3.1 достаточно близко от старых точек , то есть погрешность эксперимента невысока, что субъективно свидетельствует о неплохом качестве экспериментов. Однако, если мы представим себе, что вторая выполненная серия опытных точек является в эксперименте единственной, то рассчитанные значения коэффициентов уравнения регрессии B 0 , 2 и B 1 , 2 будут отличаться от ранее рассчитанных для первой серии

опытов коэффициентов B 0 ,1 и B 1 ,1 . Если же мы попытаемся учесть для расчета коэффициентов уравнения регрессии все четыре опыта, то получим новые варианты значений коэффициентов B 0 ,3 и B 1 , 3 .Таким

образом численные значения коэффициентов уравнения регрессии зависят от числа опытных точек и погрешности эксперимента.

Различные группы членов уравнения регрессии (3.5) имеют различный стохастический смысл. Свободный член B 0 характеризует

закона. Особый интерес вызывают включаемые в уравнение регрессии члены, представляющие собой эффекты взаимодействия типа Bi , j X i X j , характеризующие совместное влияние двух и более

параметров системы X на результат процесса Y и приводящие к нарушению закона аддитивности. Примером наличия эффекта взаимодействия могут служить сплавы, например бронза, у которой твердость сплава выше твердости исходных компонентов, или азеотропные растворы, температура которых ниже или выше температур кипения компонентов раствора. Эффекты взаимодействия для N - факторной задачи по всей совокупности факторов могут быть парными

коэффициентов В соответствует индексам параметров в рассматриваемом слагаемом, например, B3 ,4 ,4 ,5 соответствует слагаемому уравнения

регрессии B3 ,4 ,4 ,5 X 3 X 4 X 4 X 5 или B3 ,4 ,4 ,5 X 3 X 4 2 X 5 . Поскольку априорно неизвестно, какие эффекты взаимодействия реально существуют в моделируемом процессе, то при формировании уравнения регрессии в него включают все теоретически возможные варианты эффектов взаимодействия, что существенно увеличивает объем стохастической модели. Так, например, для 10-факторной задачи при разработке линейного уравнения регрессии оно будет включать 1024 , в том числе один свободный член, 10 линейных членов и 1013 членов, характеризующих различные наборы эффектов взаимодействия от многочисленных парных эффектов до единственного десятерного эффекта взаимодействия.

При разработке стохастических моделей различают исходный

пассивный и активный эксперименты.

При пассивном эксперименте разработчик модели использует независимый от него набор исходных опытных точек, полученных в произвольном эксперименте, по справочным таблицам или в результате обследования промышленных объектов, когда по материалам записей вахтового операторного журнала за большой период времени набирают информацию о поведении параметра Y при варьировании параметров X , формируя экспериментальную выборку.

При активном эксперименте разработчик модели участвует в формировании выполняемого эксперимента таким образом, чтобы свести к минимуму объем экспериментов и последующей математической

75

обработки опытных данных при расчете коэффициентов уравнения регрессии.

3.1. Основы теории пассивного эксперимента

Разработка уравнения регрессии включает в себя две задачи: разработка формы уравнения регрессии и расчет коэффициентов уравнения регрессии В.

При обработке выборки экспериментальных данных для однопараметрической зависимости Y f ( X ) используют графический метод поиска формы уравнения регрессии. При этом часто возникают ситуации, когда набор опытных точек может быть описан несколькими вариантами уравнения регрессии. Так, например, для случая, рассмотренного на рис. 3.2 можно предложить три варианта уравнения регрессии:

линейное уравнение

квадратичное уравнение

кубическое уравнение

Y

X

Рис. 3.2. К выбору формы уравнения регрессии 1 – линейная, 2 – квадратичная, 3 - кубическая

76

Обычно при поливариантном подходе к выбору формы уравнения регрессии разработку уравнения начинают с простейшей формы (например, линейной), что позволяет сократить объем расчетов при определении коэффициентов уравнения регрессии и последующем многократном использования уравнения как модели при математическом моделировании процесса, а если впоследствии эта форма уравнения окажется неприемлемой (неадекватной), то переходят к более сложным формам уравнения регрессии.

В тех случаях, когда имеющаяся выборка экспериментальных данных достаточно четко свидетельствует о наличии ряда экстремумов (максимумов и минимумов) (рис. 3.3), то уравнение регрессии имеет порядок по крайней мере на единицу больший, чем число экстремумов. Например, для зависимости Y f ( X ) , приведенной на рис 3.3 и имеющей пять экстремумов уравнение регрессии имеет вид

Y

X

Рис. 3.3. К выбору порядка уравнения регрессии

В тех случаях, когда уравнение регрессии является функцией нескольких переменных из общего набора экспериментальных данных формируют выборки, характеризующие влияние одного из параметров на

X1 (рис.3.4), подбирая форму уравнения регрессии для каждой из частных

зависимостей. В примере, приведенном на рис. 3.4 ,Y f ( X 1 ) является линейной :

79

Таким образом, уравнение регрессии позволяет в компактной форме систематизировать экспериментальные данные, подвергнуть при наличии математической модели исследуемый процесс аналитическому исследованию, ввести систематизированные справочные данные в дальнейший расчет и т.д.

Рассмотрим пример разработки уравнения регрессии как составной части математической модели. Пусть при расчете процесса окисления изопропилбензола в барботажном реакторе потребуется использовать зависимость поверхностного натяжения изопропилбензола от температуры для моделирования работы барботера при различных температурах процесса t. По справочнику 14 найдем следующие исходные данные (табл.3.1):

Таблица 3.1

Справочные данные по зависимости поверхностного натяжения

изопропилбензола от температуры

,эрг/см2 30

27,5

25

22,5

20

Рис. 3.5. Зависимость поверхностного натяжения изопропилбензола от температуры

Зависимость = f(t) (рис 3.5) может быть описана линейным уравнением регрессии в форме

где А и В – эмпирические коэффициенты, находимые методом наименьших квадратов при минимизации функции

80

где N – число опытных точек (N=9).

Решение условия экстремума (3.23) dФ/dA = 0 и dФ/dВ = 0 дает следующую систему уравнений:

которую легко решить методом Крамера через соответствующие детерминанты (DET):

DET 0 N ti2 ( ti )2

и задача может быть легко решена по несложной программе на компьютере 15 .

Основным недостатком пассивного эксперимента является громоздкость расчета многопараметричесих уравнений регрессии, связанная с большим числом рассчитываемых коэффициентов, что требует для реализации расчетов быстродействующих ЭВМ с большим объемом оперативной памяти. Так, например при разработке простого линейного уравнения регрессии с учетом 10 факторов (параметров) процесса, влияющих на его результат, уравнение регрессии будет насчитывать 1024 коэффициента, для расчета которых система уравнений, аналогичная (3.24), будет состоять из 1024 уравнений, каждое из которых будет включать 1024 слагаемых, причем для формирования сумм число экспериментов должно существенно превышать число коэффициентов и число опытных точек N=2000-3000. Вторым недостатком пассивного эксперимента является необходимость пересчета всех коэффициентов,