samoilov_n_a_modelirovanie_v_himicheskoi_tehnol

111

Корреляционный анализ

Сопоставление ряда моделей, разработанных для описания конкретного процесса, и выбор наилучшей модели удобно выполнять при помощи корреляционного отношения 0 1, рассчитываемого по уравнению

Чем больше величина , темлучше анализируемое уравнение описывает процесс. Если уравнение математической модели учитывает ряд переменных Y f ( X1 , X2 ,..., Xk ) , то используют метод множественной

корреляции, учитывающий коррелируемость между Y и каждым X i . Коэффициент корреляции r* характеризует качество разработанного

уравнения регрессии; так, например, для линейного уравнения регрессии

где bo и b1 – эмпирические коэффициенты; х и у соответственно условия проведения и результат процесса, коэффициент корреляции может быть рассчитан по уравнению

Величина r* - оценивает силу линейной связи и лежит в пределах

112

Рис. 4.3. Блок-схема расчета коэффициента корреляции

4.3.Устранение причин неадекватности математической модели

Входе оценки адекватности математической модели исследователь имеет возможность активно вторгаться в процесс формирования модели, повышать или понижать ее параметрическую чувствительность, особенно

втех случаях, когда расчетные статистические критерии приближаются к критическим табличным значениям, незначительно не доходя до условий достижения адекватности.

Вряде случаев, когда неадекватность модели обуславливается низким качеством эксперимента (большой величиной дисперсии воспроизводимости), удается улучшить результаты регрессионного анализа и «исправить» модель за счет постановки дополнительных опытов, выполненных более тщательно, чем основная выборка. Дополнительные опыты могут привести к снижению дисперсии воспроизводимости, повышению уровня параметрической чувствительности модели, коррекции параметров модели (коэффициентов уравнения регрессии) и переводу ее из неадекватной в адекватную форму.

Вкачестве примера рассмотрим зависимость глубины гидроочистки дизельного топлива от температуры, давления и других факторов

113

процесса. При разработке стохастической модели в форме уравнения регрессии установлено, что значимость одного из коэффициентов уравнения, учитывающего влияние температуры на процесс гидроочистки, определяется величиной критерия Стьюдента, равной двум. При жестком подходе к решению задачи (вероятность ошибочного суждения о значимости коэффициента Р=0.02), расчетный критерий Стьюдента меньше табличного, равного 2.896. Таким образом, необходимо сделать вывод, что температура является незначимым фактором процесса гидроочистки или что отсутствует параметрическая чувствительность процесса к температуре в выполненных экспериментах. Однако, такая чисто формальная оценка ситуации может существенно исказить представления о процессе в ходе его дальнейшего компьютерного моделирования. Поэтому необходимо установить причины параметрической нечувствительности модели к температуре. Возможны две альтернативные ситуации:

параметры модели изменялись в ходе экспериментов в узком диапазоне изменения температур процесса гидроочистки, то есть по сути дела разрабатывалась изотермическая модель процесса и параметрическая нечувствительность естественна;

существенная погрешность измерений привела к неверным исходным значениям температуры при разработке модели и завышению дисперсии воспроизводимости.

После установления причин неадекватности модели можно улучшить ее, например, расширением диапазона исследуемых температур, проведением дополнительных опытов, использования менее жесткого подхода к оценке значимости модели (например, при Р=0.1 табличный критерий Стьюдента становится равным 1.860, что меньше его расчетной величины, равной двум), что переводит температуру в разряд значимых факторов.

При детальной оценке адекватности модели используют различные подходы к самому понятию адекватности.

Так, например, если критерий Фишера меньше или равен табличному, то говорят об адекватности состояния модели (адекватности описания опытных данных); если остаточная дисперсия приближается к величине дисперсии воспроизводимости и критерий Фишера близок к единице , то говорят об адекватности уравнения. В том случае, когда модель качественно описывает поведение процесса, но количественные результаты моделирования оставляют желать лучшего (чрезмерно большие расхождения между опытными и расчетными данными), говорят об адекватности поведения модели.

114

ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Под оптимизацией математических моделей понимают поиск таких значений параметров химико-технологической системы, при которых она функционирует наилучшим способом. Для оптимизации химикотехнологической системы необходимо разработать критерий

оптимальности R – параметр выхода системы, значение которого лежит в основе оценки показателей процесса при выборе его оптимальных

показателей, при этом величина критерия R должна принимать экстремальное (минимальное или максимальное) значение. Критерий оптимальности связан с параметрами оптимизируемого процесса целевой функцией

технологические критерии оптимальности: максимальный выход или качество продуктов, минимальный объем технологических аппаратов, минимальное содержание примесей в целевом продукте и т.д.;

экономические критерии оптимальности: минимальные себестоимость, капитальные и эксплуатационные затраты, энергозатраты, максимальная прибыль от реализации продукции и т.д.

При решении задачи оптимизации можно использовать только один критерий, поэтому сложность выбора критерия оптимальности заключается в том, чтобы из возможного набора критериев найти такой, чтобы он при существующих требованиях к производству являлся основополагающим. Например, при разработке нового процесса критерием его оптимальности может быть достижение максимального выхода целевого продукта, а при выборе варианта технологической схемы производства продукта, который может быть получен разными способами, в качестве критерия оптимальности может выступать себестоимость(при условии, что различные способы производства обеспечивают одинаковый выход целевого продукта. При попытке использовать два или более критериев оптимальности для решения одной задачи получают по каждому из них свои индивидуальные, не согласующиеся друг с другом , условия оптимизации.

Целевая функция может представлять собой как непосредственно математическую модель процесса, так и формироваться специально для

116

Поиск координат экстремума целевой функции может выполняться различными методами оптимизации, выбор конкретного метода обуславливается спецификой целевой функции, наличием ограничений на решение задачи, быстродействием метода и рядом других факторов. Методы решения задач оптимизации можно классифицировать по нескольким видам, относительно просты по решению и математическому аппарату:

метод классического аналитического поиска экстремума;метод неопределенных множителей Лагранжа;группа методов нелинейного программирования;группа методов линейного программирования;группа методов динамического программирования,методы стохастической оптимизации на.

5.1. Метод классического аналитического поиска экстремума

Метод основан на том, что целевая функция

действительно имеет экстремум, если в точке, подозреваемой на наличие экстремума, производные R / X i 0 (необходимое условие экстремума)

X1,ОПТ ,..., X N ,ОПТ .

Классический аналитический метод поиска экстремума обычно применяют, когда формирование уравнений R / X i 0 не представляет

труда и решение системы уравнений (5.3) достаточно несложно.

В качестве примера применения метода рассмотрим задачу об определении оптимальных условий реализации химической реакции.

117

Пусть обратимая изотермическая реакция первого порядка

А В протекает в газовой фазе в аппарате с псевдоожиженным слоем

оптимальные значения температуры процесса Топт и продолжительности пребывания реакционной смеси в зоне реакции опт, при которых минимизируются стоимость потерь катализатора и непрореагировавшего сырья [2].

В данной задаче в качестве критерия оптимальности R можно рассматривать сумму потерь катализатора и непрореагировавшего сырья; целевая функция может быть записана в этом случае в общем виде как

где - расход сырья, м3/с;

SA – стоимость единицы объема исходного сырья, р/м3;

CAк – конечная концентрация компонента А в реакционной смеси, м3/м3;

Sv – стоимость потерь катализатора с единицы объема рабочей зоны реактора, р/м3 с;

V - объем рабочей зоны реактора (объем псевдоожиженного слоя), м3;p – продолжительность реакции, с.

При заданных , SA и Sv для решения (5.4) необходимо знать

где К1 и К2 – константы скорости прямой и обратной реакций, с-1;

koi – предэкспоненциальный множитель, с-1; Еi – энергия активации , Дж/моль;

Т – абсолютная температура проведения реакции, К; R – универсальная газовая постоянная;

118

CBk – конечная концентрация компонента В в реакционной смеси, м3/м3.

Модель гидродинамики реактора с псевдоожиженным слоем катализатора соответствует требованиям идеального смешения и по компоненту А может быть записана как

где СA0 - начальная концентрация А в исходном сырье, м3/м3.

Полная математическая модель реактора по компоненту А имеет вид

Полная модель реактора по компоненту В может быть записана в форме дифференциального уравнения аналогично (5.7), но проще ее в данной задаче использовать в форме алгебраического уравнения

СВk СА0 САk СВ0 , (5.8)

где СВ0 – начальная концентрация компонентов В в исходном сырье (при

математического описания реактора с псевдоожиженным слоем катализатора:

подстановка которого в (5.7) позволяет сформировать целевую функцию в окончательном виде:

119

В результате дифференцирования (5.10) по Р и Т получим систему уравнений, определяющих позицию экстремума целевой функции

решение которой позволяет рассчитать Т=Топт и = опт .

Нелинейную систему (5.11) можно решить на ЭВМ двумя способами:

– решением собственно нелинейной системы (5.11), например, методом простых или модифицированных итераций, приведя её к виду

120

позволяющим любым алгоритмом поиска корня (методами сканирования, хорд, касательных, половинного деления и др.) рассчитать на ЭВМ оптимальную температуру Т=ТОПТ, которая затем используется для расчетаОПТ по любому уравнению системы (5.14).

5.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Метод применяется в тех случаях, когда на оптимизируемый процесс накладывается несколько (k ) ограничений в виде

где число параметров, входящих в функции ограничений M N – числа параметров, входящих в функцию оптимизации (5.2). В методе Лагранжа формируется Функция Лагранжа

целевая функция при некоторых оптимальных значениях параметров Х стремится к экстремумы, то очевидно, что добавление к целевой функции нулевых по (5.15) функций ограничения не изменит значения критерия оптимальности и равной ему функции Лагранжа в экстремальной точке. Координаты экстремума X1,ОПТ ,..., X N ,ОПТ находят из условия равенства нулю первых производных функции Лагранжа по параметрам процесса

X j и неопределенным множителям i :

L / k 0