16. Как решается игра, если нижняя и верхняя цены игры равны?

Если нижняя и верхняя цены игры равны, то игра называется игрой с седловой точкой. В этом случае оптимальными стратегиями игроков, являющимися решением игры, будут их чистые стратегии, соответствующие седловой точке.

Определение седловой точки:

• Седловая точка – это элемент матрицы A, который является одновременно:

  • Минимумом в строке, соответствующей стратегии первого игрока.

  • Максимумом в столбце, соответствующем стратегии второго игрока.

• Нижняя цена игры: V_min = 3

• Верхняя цена игры: V_max = 3

Седловая точка – это элемент 3 в позиции (2,1) (вторая строка, первый столбец).

• Оптимальная стратегия первого игрока: выбрать вторую строку.

• Оптимальная стратегия второго игрока: выбрать первый столбец.

17. Привести пример игры с природой. Какие у природы могут быть стратегии?

Игра с природой – это разновидность игр, в которых один из игроков (природа) действует случайным образом, а другой (например, человек или организация) принимает решения, учитывая вероятностный характер действий природы. В таких играх природа не имеет цели и не выбирает стратегию осознанно – ее действия моделируются вероятностями.

Пример игры с природой:

Предположим, фермер должен решить, что посадить на поле: пшеницу или кукурузу. Его доход зависит от погоды в следующем сезоне, которая может быть:

• Сухой,

• Влажной.

Фермер не контролирует погоду, ее состояние определяет «природа». Пусть вероятность сухого сезона равна 0,7, а влажного – 0,3.

Платежная матрица игры:

	Сухая погода (P = 0,7)	Влажная погода (P = 0,3)
Пшеница	100 (доход)	40 (доход)
Кукуруза	30 (доход)	120 (доход)

Решение игры:

1. Стратегии природы:

   • Природа «выбирает» состояния погоды, которые моделируются вероятностями:

     • Сухая погода (P = 0,7),

     • Влажная погода (P = 0,3).

2. Стратегии фермера:

   • Посадить пшеницу.

   • Посадить кукурузу.

3. Расчет ожидаемых выигрышей для фермера:

Фермер хочет максимизировать свой ожидаемый доход:

• Если фермер выбирает пшеницу:

Ожидаемый доход = 0.7×100 + 0.3×40 = 70 + 12 = 82

• Если фермер выбирает кукурузу:

Ожидаемый доход = 0.7×30 + 0.3×120 = 21 + 36 = 57

4. Выбор стратегии фермера:

   • Ожидаемый доход от пшеницы (82) больше, чем от кукурузы (57).

   • Следовательно, оптимальная стратегия фермера – посадить пшеницу.

Итог:

• Стратегии природы: состояния погоды (сухая, влажная) с заданными вероятностями.

• Оптимальная стратегия фермера: выбор на основе максимизации ожидаемого выигрыша, учитывая вероятности стратегий природы.

18. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение уʹ = 3.

y′ = 3 ⟹ y = ∫3dx = 3x + C

19. Решить уравнение dy/dx = 3x.

dy/dx = 3x ⟹ y = ∫3xdx = 3x²​/2 + C

20. Решить уравнение xyʹ = y.

Запишем его в стандартной форме для разделения переменных. Разделим обе стороны уравнения на y (предполагая, что y ≠ 0):

Обозначим dy/dx = y′. Тогда уравнение принимает вид:

Интегрируем обе части уравнения:

Интегралы вычисляются как:

Применим свойства логарифмов, чтобы выразить y:

Обозначим e^C как новую постоянную C₁ > 0. Тогда:

Из этого следует:

Убирая модуль, получаем общее решение:

y = Cx