Список вопросов к зачету по дисциплине «Математическое моделирование экологических процессов» (ммэп)

1. Вычислить частные производные первого порядка для функции z = 3x⁴ + 7y.

2. Вычислить частные производные второго порядка для функции z = 2x/y.

3. Найти дифференциалы первого и второго порядка для функции z = x² + y².

4. Найти дифференциал df (1,1,1) для функции f (x,y,z) = xy.

Дифференциал функции f(x,y,z) выражается как:

Частные производные:

1. 

2. 

3. 

Подставим эти частные производные в выражение для df:

Подставим x и y в формулу:

5. Заменив приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить 1,002*2,003.

Пусть:

Дифференциал функции равен:

В точке (x,y) = (1,2) частные производные:

При dx = 0,002 и dy = 0,003:

Значение функции в точке (1,2):

Приближенное значение:

6. Найти производные первого и второго порядков от сложной функции u = f (x² + y² + z²).

Пусть ρ = x² + y² + z², тогда u = f (ρ)

1. По правилу дифференцирования сложной функции:

2. Вычислим :

ρ = x² + y² + z²  ⟹  

3. Подставим:

Вторая производная по x:

1. Используем результат первого порядка:

2. Производная первого множителя (f′(ρ)):

3. Производная второго множителя (2x):

Собираем:

1. Используем результат первого порядка:

2. Производная первого множителя (f′(ρ)) по y:

3. Производная второго множителя (2x):

Собираем:

Общий результат:

1. Частные производные первого порядка:

2. Частные производные второго порядка:

7. Найти производные первого порядка от сложной функции u = f(t), где t = x + y.

Поскольку t = x + y:

8. Найти модуль градиента функции z = x² + y² в точке М(1, 0).

Градиент функции ∇z определяется как вектор, состоящий из частных производных:

Вычислим частные производные:

1. 

2. 

Таким образом:

∇z = (2x, 2y)

Подставим координаты M(1,0):

∇z = (2×1; 2×0) = (2,0)

Модуль градиента вычисляется как длина вектора:

Модуль градиента функции в точке M(1,0):

9. Найти модуль и направление градиента для поля U(x,y) = x² + 2y в точке О(0,0).

Градиент поля ∇U  это вектор частных производных:

Найдём частные производные:

Таким образом:

Подставим координаты O(0,0):

Модуль градиента вычисляется как длина вектора:

Подставим частные производные:

Направление градиента задаётся вектором ∇U. В точке O(0,0) это вектор (0,2). Направление можно описать углом θ между вектором и положительным направлением оси x, вычисленным как:

θ = arctan(вертикальная компонента/горизонтальная компонента)

Для ∇U = (0,2):

θ = arctan(2/0)

Поскольку горизонтальная компонента равна нулю, направление градиента совпадает с положительным направлением оси y, то есть:

θ = 90^∘ или  рад.

Ответ:

1. Модуль градиента: ∣∇U∣ = 2

2. Направление градиента: вдоль положительного направления оси y, угол θ = 90^∘.

10. Для векторного поля a = ix +jy найти дивергенцию вектора a в точке М(1,1).

Для вычисления дивергенции векторного поля a, необходимо применить операцию дивергенции, которая определяется как:

где:

• a = ix + jy

• a_x = x, a_y = y

Частные производные:

Подставим частные производные в формулу дивергенции:

Поскольку дивергенция постоянна и не зависит от координат, в точке M(1,1) она равна: