Добавил:

PGK Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

task_143841

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2025

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Для определения тока iC составим для третьего узла уравнение по пер-

вому закону Кирхгофа:
iC = −uC / R + iL.	(4.3)
Так как uL = LdiL / dt, a iC = CduC / dt, то, разделив (4.2) на L4 , а (4.3) на
C5 , получим уравнения состояния:

duC

= −

RнC5

+ R

(4.4)

= −

−

iL +

i1.

Уравнения состояния (4.4) в матричной форме имеют вид:

duC

−

RнC5

[i1].

− R3 +

diL

− 1

Вычисление по уравнениям состояния переходной характеристики.

Переходная характеристика цепи h1 (t ) – это реакция цепи на воздействие сигнала в виде единичной ступенчатой функции δ1 (t ). Для ее определения решим уравнения (4.4) относительно uC , приняв воздействие i1 равным 1 при t > 0. Подставим в (4.4) численные значения параметров цепи и воздействия; тогда

	duC		= −0,5u	+ 0, 25i ,

dt			C	L
				(4.5)
diL		= −0,5uC −1,5iL + 1.

dt

Для определения частот собственных колебаний алгебраизируем уравнения состояния:

		C	− 0,25i		L	= 0,
( p + 0,5)u							(4.6)
		+ ( p + 1,5)i			= 1,
0,5u				L
	C

т. е. в системе уравнений (4.5) заменяем p = d / dt.

Характеристическое уравнение получим, приравняв нулю главный определитель системы (4.6):

( p ) = ( p + 0,5)( p + 1,5) + 0,125 = p2 + 2 p + 0,875 = 0.

(4.7)

Частоты собственных колебаний определяются решением уравнения

(4.7): p1 = −0, 65; p2 = −1,35.

Общий вид решений уравнений состояния:

u			(t ) = u			+ A e−0,65t + A e−1,35t			,
	C			C в		1		2		(4.8)
		(t ) = i			+ A e−0,65t + A e−1,35t .					(4.8)
i	L	(t ) = i		L в	+ A e−0,65t + A e−1,35t .
	L			L в		3		4
Вынужденные	составляющие						при	постоянном		воздействии

uC в = const, iL в = const. Определим их из уравнений состояния (4.5), записанных для вынужденных составляющих:

0 = −0,5u		+ 0, 25i	L в		,
	C в		L в
0 = −0,5u		−1,5i		+ 1.
	C в	L в
	C в	L в

Отсюда uC в = 0, 285 B. Для определения постоянных интегрирования A1 и

A2 из уравнений состояния (4.5) найдем начальное значение производной:

u′	(0 +) = −0,5u	(0 +) + 0, 25i	L	(0 +) = 0,
C	C		L

поскольку переходная характеристика цепи определяется при нулевых независимых начальных условиях:

		u	(0 −) = 0, i	L	(0 −)		= 0.
		C		L
На основании решений (4.8) составим при t = 0+ систему уравнений для
определения A1 и A2 :
u		(0 +)	= 0, 285 + A + A				= 0,
C				1		2	(4.9)
		(0 +)					(4.9)
u′		(0 +)	= −0,65A −1,35A = 0.
C			1				2
Решение системы уравнений (4.9) дает:						A1 = −0,548; A2 = 0, 263. Тогда
уравнение для uC в (4.8):
u (t )	= 0,285 − 0,548e−0,65t + 0, 263e−1,35t .
C

Из схемы на рис. 4.2, а следует, что реакция цепи i2 = uC / Rн, тогда с учетом Rн = 0,5 Ом выражение переходной характеристики h1 (t ) выходной реакции h1 (t ) = (0,57 − 1,1e−0,65t + 0,53e−1,35t )δ1 (t ) .

На рис. 4.3 приведен график h1 (t ) .

h1(t)

0,6

0,4

0,2

0
1	2	3	4	5	t, c
	Рис. 4.3

2. Анализ цепи операторным методом при действии одиночного им-

пульса на входе. Исходные данные: в цепи на рис. 4.2, а воздействие i1 (t ) задано графиком (рис. 4.4, а), причем Im = 10 A, tи = 20 с. Начальные условия нулевые.

Определение функции передачи цепи. Функцию передачи цепи по току

HI ( s) = I2 ( s) / I1 ( s) , где I1 ( s) , I2 ( s) – изображения по Лапласу реакции и воздействия, можно найти методами пропорциональных величин, контурных токов, узловых напряжений и другими методами анализа цепей.

i1				ZL	R5
Im						I(2)	I2(s)
							I2(s)

0	tи	tи	I1(s)	R3	I(1)	ZC	Rн
0	tи	tи	t
– Im	2
– Im
	а				б
			Рис. 4.4

Применим метод контурных токов к операторной схеме замещения, построенной на основе рис. 4.2, а, где L- и C-элементы заменены операторными

сопротивлениями ZL = sL и ZC = 1 / (sC )

(рис. 4.4, б):

R + R + Z

+ Z

( s) R

3 + 2s + 1 / (4s)

2I1 ( s)

I2к ( s) =

−1 /

(

)

− ZC

R3 + R5 + ZL + ZC

− ZC

+ 2s + 1 / (4s )

−1 / (4s)

− ZC

ZC + Rн

−1 / (4s)

0,5 + 1 / (4s)

( s )

2 + 4s + 1,75

С учетом I2 ( s) = I2к ( s) функция передачи

H I

( s ) =

( s)

0,5

(4.10)

( s)

2 + 2s + 0,875

Из выражения (4.10)

определим значения

HI ( s) при s = 0 и

s → ∞:

H I (0) = 0,57, HI (∞) = 0.

	L	R5
			I2
I1	R3	C	Rн

	L	R5
			I2
I1	R3	C	Rн

а	б
	Рис. 4.5

Проверим полученные значения H I (0) и H I (∞) по схемам замещения, соответствующим s = 0 (рис. 4.5, а, где L → КЗ; С → XX ) и s → ∞ (рис. 4.5,

б, где L → XX; C → КЗ). Из схемы на рис. 4.5, а	H	I	(0) = I	2	/ I =
					1
= R3 / (R3 + R5 + Rн ) = 0,57; из схемы на рис. 4.5, б H I (∞) = I2 / I1 = 0.
Определение нулей и полюсов функции передачи. Нули –			корни числи-

теля, полюсы – корни полинома знаменателя функции передачи. Конечных нулей функция передачи HI ( s) не имеет. Полюсы, называемые также частотами собственных колебаний цепи, являются согласно (4.10) корнями характеристического уравнения s2 + 2s + 0,875 = 0. Они равны s1 = −0, 65; s2 = −1,35. Расположение полюсов на плоскости комплексной частоты приведено на рис. 4.6, а.

Исходя из вида полюсов (отрицательные, простые), можно заключить, что переходный процесс в рассматриваемой цепи имеет апериодический, затухающий характер; его практическая длительность

tПП

= 4,62 c.

min

i1, i2, A

7,5

2,5

t, c

10 15

–1,35

–0,65

– 2,5

–5

–7,5

а	– 10
	б

Рис. 4.6

Определение переходной характеристики цепи. Переходную характе-

ристику

h (t ) –

реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию

δ (t )

при нулевых независимых начальных условиях –

находим

как оригинал

функции

H ( s)

= H

( s)

/ s :

h (t ) = L −1 H ( s ) = L −1

0,5

s (s

+ 0,65)(s + 1,35)

= (0,57 −1,1e−0,65t + 0,53e−1,35t )δ

(t ).

(4.11)

Если полюсы комплексно-сопряженные, т. е. s1, 2 = −α ± jω, то

H ( s) =

M ( s)

;

s (s

+ α − jω)(s + α + jω)

в этом случае переходную характеристику следует искать в виде

(t ) =

+ 2 A e−αt

cos(

ωt + β)

δ (t ),

где A =

Aɺ

, β = arg{Aɺ }

, Aɺ = A e jβ = H ( s )(s + α − jω)

s=−α+ jω

Из выражения (4.11) определим значения

h (t ) при t = 0 +

и t → ∞ : по-

лучим h1 (0 +) = 0; h1 (∞) = 0,57.

Проверим найденные значения по схемам замещения исходной цепи (см. рис. 4.2, а), соответствующим t = 0 + (рис. 4.5, б), где L → XX, C → КЗ, и t → ∞ (рис. 4.5, а), где L → КЗ, C → XX. При I1 = 1 из схемы на рис. 4.5, б

(0) = I

(0) = 0;

из

схемы на

рис.

4.5,

имеем

h (∞) = I

(∞) =

= R3 / ( R3 + R5 + Rн ) = 0,57. График h1 (t )

был показан на рис. 4.3.

Определение изображения по Лапласу входного одиночного импульса.

Входной одиночный импульс тока

i (t ) ,

приведенный на рис. 4.4, а, может

быть описан суммой трех ступенчатых функций:

(t ) = I

δ (t ) − 2I

δ (t − 0,5t

) + I

δ (t − t

m 1

Известно, что

L δ

(t ) = 1 / s.

Используя

теорему смещения в

веще-

ственной области, получим:

I1	( s) =	Im	(1 − 2exp(−0,5tиs) + exp(−tиs)) =	10	(1 − 2exp(−10s) + exp(−20s)).
		s
				s

Определение изображения выходного сигнала I2(s) и реакции цепи во временной области i2(t). Изображение выходного тока

I ( s) = I ( s ) H ( s) = 5 ( − −10s + −20s ).

2 1 I s (s + 0,65)(s + 1,35) 1 2e e

Оригинал I2 ( s) находим, используя теорему смещения в вещественной области [1]. Выходной ток

i2 (t ) = (5, 7 −11e−0,65t + 5,3e−1,35t )δ1 (t ) −

−2(5,7 −11e−0,65(t −10) + 5,3e−1,35(t −10) )δ1 (t −10) +

+(5,7 −11e−0,65(t −20) + 5,3e−1,35(t −20) )δ1 (t − 20).

Графики i	(t ) и i (t ) показаны на рис. 4.6, б.
1	2
Если изображение входного сигнала имеет 2 мнимых сопряженных по-
люса s1, 2 = ± jω0, например
	I1 ( s) =		Imω0	(1 + exp(−tиs)),
	I1 ( s) =	s		(1 + exp(−tиs)),
		s	2 + ω2
			0

то изображение выходного сигнала

I2 ( s ) = I1 ( s ) H I ( s) =

M ( s)

(1 + exp

(−tиs)).

(s − jω0 )(s + jω0 )(s + α3 )(s + α4 )

В этом случае оригинал следует искать в виде

(

)

(

)

(

)

[

+ β

]

(

)

−α

= 2 A cos

ω t

exp

−α

exp

0 (

− t

и )

(

−α

(

t − t

и ))

+ 2 A cos ω

+ β

+ A

exp

+ A4 exp (−α4 (t − tи )) δ1 (t − tи ),

где A =

Aɺ

β = arg{Aɺ },

Aɺ = A e jβ

= (s − jω

) I

( s ) / 1

+ exp(−t

s )

s= jω

3. Анализ цепи частотным методом при действии одиночного им-

пульса на входе. Исходные данные приведены в п. 2.

Определение амплитудно-частотной и фазочастотной характери-

стик цепи. Обобщенная частотная характеристика цепи H I ( jω) , т. е. ам-

плитудно-фазовая характеристика, определяет связь реакции и воздействия в установившемся синусоидальном режиме для любой частоты:

( jω) = H

( s )

s= jω

( jω)

причем АЧХ определяет отношение амплитуд, ФЧХ – фаз гармонических сигналов, проходящих через цепь.

В рассматриваемом примере с учетом (4.10):

jΦ(ω),

изменение начальных

H I ( jω) = 0,5

(−ω2 + 2 jω + 0,875),

амплитудно-частотная характеристика

H I ( jω)

= 0,5 /

(0,875 − ω2 )2 + (2ω)2

(4.12)

фазочастотная характеристика

Φ (ω) = −arctg

2ω

0,875 − ω2

Из выражения (4.12) имеем

HI ( j0)

= 0,57 и

HI ( j∞)

= 0.

цепи (см.

Проверим полученные значения по схемам

замещения

рис. 4.2, а), соответствующим ω = 0 (см. рис. 4.5, а) и ω → ∞ (см. рис. 4.5, б).

	Из схемы на рис. 4.5, а имеем				H I ( j0)	= I2 / I1 = R3 / (R3 + R5 + Rн) =
= 0,57; из схемы на рис. 4.5, б получим H I ( j∞) = I2 / I1 = 0.
	H I ( jω)			I1 ( jω)
0,57				I1 ( jω)
0,5				160
				160
0,4
0,3				120
0,3
0,2				80
0,1
0				40
0	0,2	0,4	0,6	0,8 ω, c–1
	0,2	0,4	0,6	0,8 ω, c–1
	∆ω			0		1	2	ω, c–1
	∆ω
Φ(ω)
Φ(ω)	0,2	0,4	0,6	0,8 ω, c–1			∆ω1
0
				Φ1(ω)
– π/4				π/2
– π/4				0
				0		1	2	ω, c–1
				– π/2		1	2	ω, c–1
				– π/2
– π/2				– π
– π/2				–3 π/2
				–3 π/2
			a	– 2π			б
			a				б
				Рис. 4.7
	Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 4.7, а.

Определение полосы пропускания цепи. Полосу пропускания цепи определяем как диапазон частот, в котором H I ( jw) ³ 0, 707 H I ( jw) max . Полоса пропускания, найденная по графику H I ( jω) на рис. 4.7, а, составля-

ет Δω 0,55 c−1.

Определение амплитудного и фазового спектров входного одиночного импульса тока. Расчет ширины амплитудного спектра. Для

одиночного

импульса

тока

i (t )

спектральная плотность

( jω) =

= I

( s )

s= jω

( jw)

exp ( jF (w)), где

( jω)

– амплитудный, а

(ω)

–

фазовый спектры входного импульса тока.

Запишем полученное изображение I1 ( s) в виде

I1 ( s) =	Im	(1 − exp(−0,5tиs))2 .
I1 ( s) =	s	(1 − exp(−0,5tиs))2 .
	s
Положив s = jω, получим:
					π
I1 ( jω) = (1 − exp(−0,5tи jω))2			4Im		j
		=	4Im	sin2	(0, 25tиω)e 2
		=		sin2	(0, 25tиω)e 2
			ω

При tи = 20 с из (4.13) выражение амплитудного спектра

I1 ( jω) = 40ω sin2 (5ω),

а фазового спектра

Φ1 (ω) = π −10ω. 2

− 0,5tиω

. (4.13)

(4.14)

(4.15)

При ω = 0 амплитудный спектр I1 ( j0) = 0 / 0. Раскрывая неопределен-

ность по Лопиталю, получим I1 ( j0) = 0. Таким образом, нули I1 ( jω) будут при частотах ω = 0; π / 5; 2π / 5; 4π / 5….

Графики амплитудного и фазового спектров, рассчитанные по выражениям (4.14) и (4.15), показаны на рис. 4.7, б. Спектр является сплошным, при этом I1 ( jω) характеризует относительное распределение амплитуд гармо-

ник по частоте (спектральная плотность), а Φ1 (ω) – распределение начальных фаз гармоник. Огибающая амплитудного спектра убывает пропорционально частоте. Начальное значение спектра I1 ( j0) = 0 (как известно [1] –

[3], оно равно площади сигнала, которая согласно рис. 4.4, а является нулевой).

Ширина спектра, определенная по графику (рис. 4.7, б) на уровне 0,1 I1 ( jω) max , составляет Δω1 2,25c−1.

Заключение об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Со-

поставляя спектры входного сигнала (рис. 4.7, б) с частотными характеристиками функции передачи цепи (рис. 4.7, а), можно сделать вывод о том, что

первый лепесток спектра практически укладывается в полосу пропускания, остальная же часть спектра располагается в зоне интегрирования, поэтому искажение формы сигнала при прохождении через цепь будет не очень значительным, выходной сигнал будет непрерывным, увеличится длительность его фронтов, а его амплитуда составит 0,57 от амплитуды входного сигнала.

Этот вывод подтверждается точным расчетом (см. рис. 4.6, б).

4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 4.2, а. На вход цепи подан сигнал в виде периодической последовательности импульсов тока

(рис. 4.8) при Im = 10 A, tи = 20 с, T = 2tи = 40 с.

tи

–I m

Рис. 4.8

Разложение в ряд Фурье входного сигнала. Построение его амплитудного и фазового дискретных спектров. Периодический несинусоидаль-

ный входной сигнал представляют в виде ряда Фурье [1]:

∞

f (t ) =

+ ∑ Ak cos(kω1t

+ αk ) =

∑ Aɺk exp( jkω1t ).

k =1

2 k =−∞

Комплексные амплитуды (комплексный частотный спектр) определяют-

ся соотношением [1],

[2] Aɺ

F ( s )

, где ω = 2π / T , k = 0, 1, 2,….

s= jkω1

Аналогично для нахождения

Aɺk

может быть

использована спектральная

плотность одиночного импульса:

F1 ( jω)

Aɺk =

ω=kω1 .

(4.16)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
20.06.20253.08 Mб26 лаба графики2.docx
#
20.06.20251.67 Mб2Laboratorny_praktikum_po_TOE_2017_zerkalny.pdf
#
20.06.20251.21 Mб2task_143841.pdf
#
20.06.20257.02 Mб3ТОЭ 12 лаба.docx
#
20.06.20253.58 Mб3тоэ 3 лаба идеал.docx
#
20.06.20253.26 Mб1тоэ 6 лаба графики.docx
#
20.06.202560.7 Кб2тоэ 6 лаба теория.docx
#
20.06.2025233.76 Кб2тоэ 7 лаба готовая.docx