task_143841

Добавил:

PGK Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

( jω) = H ( s)

(5 − ω2 ) + j4,5ω

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2025

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

помощью табл. 3.4. Базисное значение напряжения Uб или тока Iб находят с
помощью соотношения
				Uб = RбIб,
предварительно выбрав Iб или Uб .
								Таблица 3.4
Задаваемые				Вычисляемое значение
Задаваемые
значения			R	L	C		б	Tб
			б	б			б
Rб , Tб			Rб	RбTб	Tб / Rб			Tб
R , L			R	Lб	L / R2			Lб / Rб
R , L			б		б		б
б	б		Rб	CбRб2	Cб			CбRб
Rб , Cб			Rб	CбRб2	Cб			CбRб
Lб , Tб			Lб / Tб	Lб	Tб2 / Lб			Tб
Lб , Cб			Lб / Cб	Lб	Cб			LбCб
Cб , Tб			Tб / Cб	2	Cб			Tб
Cб , Tб			Tб / Cб	Tб / Cб	Cб
Переход в уравнениях к нормированным значениям дает нормированные
уравнения цепи, в которой процессы определяются нормированными парамет-
рами, и	в	частности нормированными			частотами	собственных колебаний
pk = pk /		pб . Так как размерность р обратна размерности времени, то
				pб = 1 / Tб .
Аналогично, нормированная комплексная переменная sk								и частота ωk
определяются выражениями

s = s / sб, ω = ω / Ωб,

где sб = 1 / Tб, Ωб = 1 / Tб.

Следует отметить, что результаты анализа процессов в нормированных значениях легко пересчитываются к конкретным значениям параметров. Для этого достаточно умножить нормированные значения на их базисные значения, произведя денормирование.

3.3.Контрольные вопросы

1.Что называют переменными состояния?

2.Перечислить способы составления уравнений состояния.

3.Каковы преимущества метода переменных состояния по сравнению с другими методами анализа во временной области?

4.Что такое передаточная функция цепи? Перечислить способы расчета передаточных функций.

5.Что такое переходная и импульсная характеристики цепи и какова их связь с передаточной функцией?

6.Почему полюсы передаточной функции пассивной цепи расположены

влевой полуплоскости?

7.Как найти сигнал по изображению U ( s) = (1 + e−πs ) / (s2 + 1) ?

8.Как найти изображение сигнала

u (t ) = 2e−3tδ1 (t ) + 4e−3t(t −2)δ1 (t − 2) ?

9. Как по изображению U ( s) = (2s2 + s + 1) / (s3 + s2 ) определить начальное значение оригинала u (0 +) и начальное значение его производной u′(0 +) ?

10. Как по известным полюсам s1, 2 = −2, s3, 4 = ± j2 изображения сигнала записать его общую форму во времени?

11.Как проверить предельные значения АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи при ω → 0 и ω → ∞ исходя из свойств цепи?

12.Каково условие неискаженной передачи сигнала через цепь? Удовлетворяет ли исследованная цепь этому условию?

13.Как изменится амплитудный спектр апериодического сигнала при изменении его длительности; амплитуды?

14.Какова связь спектра одиночного сигнала со спектром периодической последовательности этих сигналов?

15.Как влияет скважность периодического сигнала на спектр?

3.4. Типовой пример

Для цепи, изображенной на рис. 3.3, выполним задания курсовой работы. Параметры ветвей R1 = R2 = R3 = Rн = 1 Ом, С = 1 Ф, L = 0,5 Гн.

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Исходные данные: u0 (t ) = U0 = 10B ; i0 (t ) = I0δ1 (t ) = 10δ1 (t ) A. Переменными состояния следует принять iL (t ) и uC (t ) . Для формирования уравнений состояния заменим в исходной цепи для t > 0 все L-элементы источниками тока с токами iL (t ) и все С-элементы –

источниками напряжения с напряжениями uC (t ) . Тогда цепь будет иметь вид, показанный на рис. 3.4.

Rн

Рис. 3.3

В полученной цепи одним из методов анализа R-цепей найдем напряжение uL (t ) введенного источника тока и ток iC (t ) – источника напряжения. Воспользуемся методом узловых напряжений [1], [2]. Примем четвертый

узел базисным, считая U у			= 0. Тогда напряжение первого узла определяется
		4
сразу uу = u		(t ). Для определения неизвестных u							у	и uу	запишем уравнения
1	C								2	3
узловых напряжений для 2-го и 3-го узлов:
		G u у + G u				у + G u у = iу				;
			21	1	22	2	23	3	2		(3.1)
						у + G u у = iу.					(3.1)
		G u у + G u				у + G u у = iу.
			31	1	32	2	33	3	3

Определим коэффициенты уравнений и правые части:

G =	1	+	1	= 2; G =	1	= 1; G = −	1	= −1;

22	R2		R3	33	Rн	21	R2

G23 = G32 = 0; G31 = 0; i2у = −iL (t ); i3у = I0 + iL (t ).

Систему уравнений (3.1) перепишем в следующем виде:

−u

(t ) + 2u

у = −i

(t )

;

у = I

+ i

(t ),

откуда u

у = 0,5u

(t ) − 0,5i

(t );

uу = I

+ i

(t ).

Напряжение uL (t ) введенного источника тока:

(t ) = u

− uу = 0,5u

(t )

−1,5i

(t )

−10.

(3.2)

Ток i

(t )

введенного источника напряжения:

(t ) = i

+ i

− u (t )

у (t ) − u

(t )

= −1,5u

(t ) − 0,5i

(t ) + 10. (3.3)

R1	1	R2	2	iL
R1	1	R2	2	3
		iC		uL
		uC		uL
u0		uC	R3	i0	Rн

Рис. 3.4

Так как diL / dt = uL (t ) / L , то, разделив (3.2) на L, получим первое урав-

нение состояния; учитывая,			что du		(t ) / dt = i				(t ) / C,	разделив (3.3) на С,
			C					C
получим второе уравнение состояния:
	diL	= u (t ) − 3i					(t ) − 20,
		= u (t ) − 3i					(t ) − 20,
dt			C			L
			C			L				(3.4)
										(3.4)
	duC		= −1,5u	(t )			− 0,5i	L	(t ) + 10.
			= −1,5u	(t )			− 0,5i		(t ) + 10.
			C
dt

Найдем точное решение этих уравнений. Определим независимые предначальные условия, рассмотрев установившийся режим в исходной цепи для t < 0 : uC (0 −) = 6 B, iL (0 −) = 2 A.

Для определения частот собственных колебаний алгебраизируем уравнения состояния (3.4):

	( p + 3)i		− u	= −20,
		L	C	(3.5)
		+ ( p + 1,5)u
				= 10,
0,5i	L
			C

причем в системе (3.5) p = d / dt. Характеристическое уравнение получим, приравнивая нулю главный определитель системы (3.5):

( p ) = ( p + 3)( p + 1,5) + 0,5 = p2 + 4,5 p + 5 = 0.

(3.6)

Из (3.6) частоты собственных колебаний p1 = −2, p2 = −2,5. Общий вид точных решений уравнений состояния:

(t ) = i

L в

+ i

L св

= i

L в

+ A e−2t

+ A e−2,5t

;

(3.7)

(t ) = u

+ u

= u

св

+ A e−2t + A e−2,5t .

C в

Вынужденные составляющие iL в = IL в = const, uC в = UC в = const опре-

делим из уравнений состояния (3.4):

0 = U

C в

− 3I

L в

− 20;

0 = −1,5UC в − 0,5IL в + 10;

отсюда IL в = −4 A, UC в = 8B . Для определения постоянных интегрирования найдем начальные значения производных из уравнений (3.4):

i′	(0 +) = u		(0 +) − 3i	L	(0 +) − 20 = 6 − 6			− 20 = −20;
L		C		L
u′		(0 +) = −1,5u (0 +)			− 0,5i	L	(0 +) + 10	= −9 −1 + 10 = 0.
С			C			L

На основании решений (3.7) при t = 0+ составим уравнения, необходимые для определения постоянных интегрирования А1 и А2:

i	L	(0 +) = −4 + A + A = 2;
	L	1	2	(3.8)
i′		(0 +) = −2 A −	2,5A = −20,	(3.8)
i′		(0 +) = −2 A −	2,5A = −20,
	L	1	2

а затем – систему для определения А3 и А4:

u	(0 +) = 8 + A + A = 6;
C	3	4	(3.9)
u′	(0 +) = −2 A − 2,5A = 0.		(3.9)
u′	(0 +) = −2 A − 2,5A = 0.
C	3	4

После отыскания из систем (3.8), (3.9) постоянных интегрирования получим точные решения уравнений состояния:

iL (t ) = −4 −10e−2t + 16e−2,5t ; uC (t ) = 8 −10e−2t + 8e−2,5t .

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:

iL[(n +1)

uC [(n+1)

t] = i

(n t)+

diL

= i

t)+

t u

t)−3i

(n t)−20 ;

t=n t

t] = u

(n t)+

duC

= u

t)+

t −1,5u (n

t)−0,5i

(n t)+10 ,

t=n t

где t – шаг расчета, n = 0, 1, 2, 3, … .

Взяв, например,

t = 0,1 с, получим:

[(n + 1)

t] = 0,7i

t )

+ 0,1u (n

t ) − 2;

[(n + 1)

t ] = −0,05i

t ) + 0,85u

(n t ) + 1.

На рис. 3.5 а, б построены графики точного (кривая 1) и численного

(кривая 2) решений. Как видно, для

(t ) точное и численное решения в

принятом масштабе практически совпадают.

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздей-

ствии. В цепи (см. рис. 3.3)

i (t ) = 0; u

(t )

задано графиком (рис. 3.6, а), где

U m = 10 B, tи = 5c. Независимые предначальные условия нулевые.

iL				uC
2
1				8
1
0	1	2	t, c	6
–1				4
–1
–2				2
–3	2
–3		1		0	1	2	t, c
		1		0	1	2	t, c
–4
		a				б

Рис. 3.5

Применяя метод пропорциональных величин к операторной схеме замещения, построенной на основании рис. 3.3, находим функцию передачи

HU ( s ) = Uн ( s ) / U0 ( s ) = 1 / (s2 + 4,5s + 5).

Полюсы функции передачи являются корнями уравнения s2 + 4,5s + + 5 = 0, откуда s1 = –2; s2 = –2,5. Они являются корнями характеристического уравнения (частотами собственных колебаний цепи). Конечных нулей функция передачи не имеет.

Импульсная характеристика

	h (t ) = L	−1 H		( s ) = 2e−2t	− 2e−2,5t .
			U
Переходная характеристика
h	(t ) = L −1 H		( s )	/ s = 0, 2 − e−2t + 0,8e−2,5t .
1		U

Графики h(t) и h1(t) показаны на рис. 3.6, б.

		u0															h1, h
																0,2
	Um															0,2

																0,1																				h1
																																				h1

																																	h
																																	h


				0					tи					t					0					0,5			1,0							1,5				2,0		t, c
							а																							б
																				Рис. 3.6

		u0																			uн
		10																				2
		10																				2

			5
																						1
																						1


																						0
					0	1		2		3		4			5		t					0				1 2		3							4 5		6		7	t
					0	1		2		3		4			5		t			Рис. 3.7						1 2		3							4 5		6		7	t
																				Рис. 3.7
Изображение заданного входного напряжения
											U		0	( s )		=	Um	−			Um		e−stи =		10				−		10	e−5s.
											U			( s )		=		−					e−stи =						−			e−5s.
																	s					s				s					s
																	s					s				s					s

Изображение выходного напряжения

( s) = H

( s )U

( s ) =

−

10e−5s

s (s2 + 4,5s + 5)

Оригинал выходного напряжения

(t ) = (2 −10e−2t + 8e−2,5t )δ (t )

− (2 −10e−2(t −5) + 8e−2,5(t −5) )δ (t − 5).

На

рис. 3.7 построены

графики

входного

(t ) и выходного

u (t )

напряжений.

3. Качественный анализ цепи частотным методом при апериодиче-

ском воздействии. Обобщенная частотная, т. е. амплитудно-фазовая, характеристика

Амплитудно-частотная характеристика

HU ( jω) = 1 / (5 − ω2 )2 + (4,5ω)2 = 1 / ω4 + 10, 25ω2 + 25.

Фазочастотная характеристика

Φн (

ω) = −arctg 4,5ω / (5 − ω

) .

Графики АФХ, АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 3.8, а, б соответственно.

Полоса пропускания, определенная по графику

H (

jω)

, Δω

1,5 c−1.

0,707

Спектральная плотность входного напряжения

( jω) = U

( s )

s= jω

= A (ω)e jΦ0 (ω),

где A (ω) – амплитудный, Φ

(ω)

– фазовый спектры воздействия;

U0 ( jω) =

(1 − e− jωtи ) =

sin 2,5ω e− j2,5ω .

(3.10)

jω

Из выражения (3.10) следует, что амплитудный спектр

A (ω) =

sin 2,5ω

фазовый спектр

						Φ0				−2,5ω, если sin 2,5ω > 0;
						Φ0	(ω) =
										−2,5ω + π, если sin 2,5ω < 0.
											\|H(jω)\|
											\|H(jω)\|

	jIm H(jω)													0,2
														0,2


												0,14

0,1															0,1
0,1															0,1

																		Δω

			ω → ∞						ω = 0

				0,1			0,2			Re H(jω)							0			1	2		3	4	5	6	ω, с–1
	ω = 5																0			1



											Фн(ω)
											Фн(ω)
		ω = 3
								ω = 0,5											1			2	3	4	5	6	ω, с– 1
		ω = 2,5						ω = 0,5								π			1			2	3	4	5	6	ω, с– 1
		ω = 2,5											−

			ω = 2		ω = 1


			ω = 1,5				2
				а										−π									б
														−π

Рис. 3.8

Графики спектров A0 (ω) и Φ0 (ω) показаны на рис. 3.9. Ширина спек-

тра, определенная по графику по 10 %-му критерию, Δω0 3, 4 c−1.

А0								Φ0(ω)
50						0
50


									1	2	3 ω, c– 1
25								– π	1	2	3 ω, c– 1





	0

		1		2	3		4	ω, c– 1
		1		2	3		4	ω, c– 1

			∆ω0			Рис. 3.9

Сопоставляя спектры входного сигнала (рис. 3.9) с частотными характеристиками цепи (рис. 3.8, б), можно установить, что существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, а фазочастотная характеристика в этой полосе близка к линейной. Поэтому при прохождении через цепь входной сигнал будет сравнительно мало искажен. Поскольку при ω → ∞ АЧХ равна нулю, то выходной сигнал будет непрерывным и можно ожидать увеличения длительности переднего и заднего фронтов выходного импульса по сравнению с входным. Этот качественный вывод подтверждается точным расчетом в п. 2 (см. рис. 3.7).

4.Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.

Вцепи (см. рис. 3.3) периодическое напряжение u0 (t ) задано графиком

(рис. 3.10, а), где Um = 10 B , tи = 5 c , T = 2tи = 10 c.
	u0
	Um
Ak	0	tи				t
	0	tи				t
10	A0	T	a	Akвых
8	A1			2	A0
6					A1
4		A3	A5	1		A3
2			A5			A3	A5
0	ω1	3ω1	5ω1 ω	0	ω1	3ω1	5ω1 ω
Φk	ω1	3ω1	5ω1 ω	0	ω1	3ω1	5ω1 ω
Φk	ω1	3ω1	5ω1 ω Φkвых		ω1	3ω1	5ω1 ω
0	ω1	3ω1	5ω1 ω Φkвых		ω1	3ω1	5ω1 ω
0
− π	Φ1	Φ3	Φ5	− π	Φ1
− π	Φ1	Φ3	Φ5	2	Φ1	Φ3
2				−π		Φ3	Φ5
				−π			Φ5
	б					в
			Рис. 3.10
Для разложения в ряд Фурье периодической последовательности им-
пульсов найдем комплексные амплитуды гармоник ряда:

A =	2	U	( jω)	,

k	T 0			ω=kω1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
20.06.20253.08 Mб26 лаба графики2.docx
#
20.06.20251.67 Mб2Laboratorny_praktikum_po_TOE_2017_zerkalny.pdf
#
20.06.20251.21 Mб2task_143841.pdf
#
20.06.20257.02 Mб3ТОЭ 12 лаба.docx
#
20.06.20253.58 Mб3тоэ 3 лаба идеал.docx
#
20.06.20253.26 Mб1тоэ 6 лаба графики.docx
#
20.06.202560.7 Кб2тоэ 6 лаба теория.docx
#
20.06.2025233.76 Кб2тоэ 7 лаба готовая.docx