Добавил:

PGK Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

task_143841

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2025

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

где ΔΦ (ω) – приращение фазы, рад; ∆ω – приращение частоты в области низких частот. Для ФНЧ можно также использовать формулу tз = Φ′(0) . Таким образом, tз ≈ 3.

A(ω)

ωср

Φ(ω)

	ω → ∞
ω = 1	ω 1,1	ω = 0
ω
	ω 0,54

Рис. 2.5

Составление уравнений состояния цепи. Получим уравнения состоя-

ния цепи с помощью формальной процедуры, для чего заменим L-элементы на источники тока iL1 (t ) и iL2 (t ), а C-элемент на источник напряжения

uС1 (t ). Соответствующая схема замещения приведена на рис. 2.6.

В полученной резистивной цепи любым методом расчета найдем uL1 (t ), uL2 (t ), iC1 (t ). Для примера выберем метод контурных токов:

iк

= i

(t ),

iк

= i

(t ),

(R1 + R2 )i3к = u0 (t );

R1i1к − R2i2к +

следовательно,

i3к =

R2iL2 (t ) − R1iL1 (t ) + u0 (t )

= −0,5iL

(t ) + 0,5iL

(t ) + 0, 25u0 (t ),

R1 + R2

тогда:

(t ) = i

(t ),

(t ) - R1 (i1к + i3к ) = -uC

(t ) = u0 (t ) - uC

(t ) - iL

(t )

- iL

(t ) + 0,5u0 (t ),

(t ) = R2 (i3к - i2к ) - Rнi2к = -iL (t )

(t ) + 0,5u0 (t ).

- 2iL

Используя

соотношения

(t ) = C u

′

(t ),

(t ) = L i′

(t ),

1 L1

(t ) = L i′

(t ), получим уравнения состояния:

2 L2

u¢

(t )

= 0 ×u

(t ) +1×i

(t )

+ 0 ×i

(t ) + 0 ×u

(t ),

(t )

i¢

(t ) = -1×u

-1×i

(t ) + 0,5 ×u (t ),

(2.2)

(t ) = 0 ×u

(t ) + 0,1×u

(t ).

i¢

(t ) - 0, 2 ×i

(t ) - 0,4 ×i

Для расчета реакции –

напряжения uн (t )

запишем уравнение связи:

(t ) = R

= i

(t ) .

(2.3)

Уравнения состояния (2.2) в матричной форме:

(t ) = [ A] f

ПС

(t ) +

[B] f

(t )

;

ПС

u′

(t )

(t ).

i′

(t )

− 1

(t )

+ 0,5 u

(2.4)

(t )

i′

− 0,2

− 0,4

0,1

Проконтролируем полученные уравнения (2.4). Для этого можно рассмотреть приведенные на рис. 2.6 схемы замещения цепи при единичном ступенчатом воздействии u0(t) = δ1(t) при t → 0+ (рис. 2.7, а) и t → ∞ (рис. 2.7, б). Схемы аналогичны изображенным на рис. 2.3.

Для схемы на рис. 2.7, а имеем:

iC		(0 +) = 0,
	1		(0 +) = 0,5,
	L
u	1
			(0 +) = 0,5;

uL
	2

			(0 +) =			iC	(0 +)	= 0,
uC′			(0 +) =			1		= 0,
						1
	1						C1
							C1
				uL			(0 +)
		(0 +) =		uL			(0 +)
iL′					1			= 0,5,
iL′						L1		= 0,5,
	1					L1
			(0 +) =		uL		(0 +)
′					2
′								= 0,1.
	iL						L	= 0,1.
	2						L
							2

iL2 (t )

i1к

(t )

u0 (t )

(t )

Rн

			Рис. 2.6
R1	L2			R1				L2
u0 = 1	L1		u0 = 1		L1
u0 = 1	L1		u0 = 1
	R2	Rн	uн = 0	C1			R2	Rн	uн = 0,25
	C1			C1
	а					б
			Рис. 2.7
Такие же значения производных получаем из (2.4) при t → 0+. Для схе-
мы на рис. 2.7, б имеем:		uC	(∞) = 0, 25, iL	(∞) = 0	,	iL	(∞) = 0, 25		. Такие же
		1	1			2

вынужденные значения получаем по уравнениям (2.4), приравняв их левые части к нулю.

Контроль проще всего осуществлять по характеристическому полиному цепи, который здесь определяют как

det ([ A] − p[E]) = 0.

Определение переходной и импульсной характеристик. Для аналити-

ческого расчета переходной характеристики используем операторный метод:

(t) = L

−1 H

(s) = L −1

H (s)

= L −1

10s (s + 0,545)(s + 0,856s + 0, 743)

Применим теорему разложения:

(s ) =

s2 + 1

(s + 0,545)(s + 0,428 - j0,743)(s + 0,428 +

j0,743)

10 s

s + 0,545

s + 0,428 − j0,743

s + 0,428 + j0,743

Вычеты в

полюсах

равны:

D1 = 0,25;

D2 = – 0,421;

D3 = 0,094e j 0, 415 ;

D4 = 0,094e− j 0,415 .

При наличии комплексно-сопряженных полюсов вида sk ,k +1 = −α ± jω0 (в рассматриваемом примере такими являются s3,4 = −0,428 ± j0,743) ориги-

нал суммы соответствующих дробей может быть найден следующим образом:

Dɺ

e−αt cos (w0t + arg{Dɺk })d1 (t ) ,

L −1

k +1

= 2

Dɺk

s - sk

s - sk +1

где Dɺk , Dɺk +1 –

вычеты, соответствующие полюсам sk, sk+1, причем Dɺk соот-

ветствует полюсу с положительной мнимой частью ( sk = −α + jω0 ).

Таким образом, переходная характеристика имеет вид

(t ) = 0, 25 − 0,421e−0,545t

+ 0,188e−0,428t cos(0,743t + 0,415)

δ (t ) . (2.5)

График переходной характеристики приведен на рис. 2.8, а.

Проконтролируем конечное h1(∞) и начальное

h1(0+) значения переходной

характеристики

по

выражению

(2.5):

h1 (∞ ) = 0,25;

h1 (0 + ) = 0 ,

а также по выражению (2.1), использовав теоремы о конечном и начальном

значениях: h1 (∞) = lim sH1 (s ) = 0,25;				h1 (0 + ) = lim sH1 (s ) = 0 .			Значения совпа-
	s→0			s→∞
дают.
Найдем импульсную характеристику:
	−1 H (s)	= L −1		s	2	+ 1
h(t) = L				s		+ 1		.
h(t) = L								.
			10(s + 0,545)(s + 0,856s + 0,743)

Используем теорему разложения:

H (s ) =	D5	+	D6		+	D7			,
H (s ) =	s + 0,545	+	s + 0,428 −		+				,
	s + 0,545		s + 0,428 −	j0,743		s + 0,428 + j0,743
где D5 = 0,229; D6 = 0,08e j 2,509 ; D7 = 0,08e− j 2,509 .
Тогда:
h (t ) = 0, 229e−0,545t + 0,16e−0,428t cos(0,743t + 2,509)							δ	(t ) .
							1

График импульсной характеристики приведен на рис. 2.8, б.

Рис. 2.8

Выполним численный расчет переходной характеристики, для чего получим численное решение уравнений состояния на основе алгоритма Эйлера:

[ fПСn ] = fПС n 1		+	t ([ A] fПС n 1		+ [B] f1 n 1 ) ;
	( − )			( − )	( − )

(n−1)

uC1n

= i

L1(n−1)

t [ A] i

L1 (n−1)

+ [B

L1n

0(n−1)

L n

L2 (n−1)

Шаг расчета выбираем, исходя из условия

t <

min τmin ,

min , где

Tmin ≈ 8,5

– минимальный период колебаний синусоидальной составляющей

в описании процессов в цепи; τmin =

≈ 1,8 –

минимальная посто-

max Re{sk }

янная времени; sk

– полюсы передаточной функции цепи.

Выбираем шаг

расчета равным 0,3. Тогда:

uC1n = uC1 (n−1) + 0,3iL1 (n−1) ,

= i

(n−1)

+ 0,3 −u

− i

L1(n−1)

− i

+ 0,5u

L1n

C1 (n−1)

L2 (n−1)

0(n−1)

−0, 2iL2

(n−1) − 0, 4iL2 (n−1) + 0,1u0(n−1)

iL2 n = iL2 (n−1) + 0,3

Рис. 2.9

На основе полученного численного решения для переменных состояния

с помощью уравнения связи (2.3) вычислим значения переходной характери-

стики:

= iL n .

uнn

Графики переходной характеристики, полученные на основе аналитического и численного расчетов, приведены на рис. 2.9. График, соответствующий численному расчету, изображен штриховой линией.

Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса. Найдем изображение по Лапласу входного одиночного импульса, для чего с помощью метода двойного дифференцирования (применение данного метода описано в типовом примере к теме 1) представим указанный импульс в виде u0 (t ) = U0md1 (t ) -U0md1 (t - tи ) ; тогда:

U0	(s) =	U0m	(1 - e−stи ).	(2.6)

		s

uн(t), u0(t) 25

Рис. 2.10

Запишем выражение для изображения реакции цепи на входной одиночный импульс:

Uн (s)		= H (s )U0 (s) =		s2 +1	×	U	0m	(1	- e−stи ) =
Uн (s)		= H (s )U0 (s) =	10s3 +14s2 +12s + 4		×		s	(1	- e−stи ) =
		= Uн1 (s ) − Uн1 (s )e− stи ,
где Uн1 (s ) =		U0m (s2 + 1)		.

	s (10s3 + 14s2 + 12s + 4)
	s (10s3 + 14s2 + 12s + 4)

Тогда

uн (t ) = uн1 (t )δ1 (t ) − uн1 (t − tи )δ1 (t − tи ),

причем uн1(t) = L	−1 U	(s ) . Используя теорему разложения, получим
	н1

uн1 (t ) = 25 − 42,1e−0,545t + 18,8e−0,428t cos (0, 743t + 0, 415).

Графики реакции (сплошная линия) и измененного в A(0) раз воздействия (штриховая линия) приведены на рис. 2.10. Показанные на рис. 2.10 кривые подтверждают правильность предположений, сделанных ранее на основе анализа частотных характеристик.

Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия. Определим спектральные характеристики одиночного импульса, изображенного на рис. 2.2, б.

С учетом (2.6) комплексный спектр импульсного воздействия:

(1 − e− jωtи ) =

e− j

ωtи

+ e− j

ωtи

U0 ( jω) = U0 (s)

s= jω

U0m

e j

jω

2U 0m

wtи

− j ωtи

sin

2 .

Амплитудный спектр входного сигнала:

(w) =

2U0m

sin wtи

Фазовый спектр входного сигнала:

sin

³ 0,

(w)

wtи

p -

sin

< 0.

Для построения графика амплитудного спектра сигнала найдем его узлы

– значения частот ωуk, при которых указанный спектр равен нулю: A1 (w) = 0

при	wt		= 0 , т. е.	ωt
при	sin	и	= 0 , т. е.	и = kp ; следовательно, ωуk ≈ 0,133k; k = 1, 2, 3, … .
		2		2

При вычислении значения амплитудного спектра на частоте ω = 0 возникает

неопределенность вида 0 . Для раскрытия неопределенности используем

0

правило Лопиталя:

ωt

sin′

(0) = lim

= 2U0m lim

sin

ω′

ω→0

tи

ωtи

cos

= 2U0m

= U0mtи.

ω=0

Контроль: значение амплитудного спектра на нулевой частоте равно площади сигнала.

Графики амплитудного и фазового спектров одиночного импульса воздействия показаны на рис. 2.11, а, б соответственно.

A1(ω)

4000

3000

2000

1000

Φ1(ω)

– 1

– 2

– 3

0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	ω
ωсп
			а
0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2
						ω

Рис. 2.11

Ширина спектра импульсного входного сигнала, определенная по 10 %-му амплитудному критерию (рис. 2.11, а), Δωсп [0;0,36] .

Сравнение ширины спектра воздействия и полосы пропускания цепи показывает, что спектр входного сигнала укладывается в полосе пропускания,

следовательно, оценки, сделанные ранее на основе анализа частотных характеристик, справедливы, что подтверждается данными точного расчета

(рис. 2.10).

Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе цепи.

Выражение для амплитудного спектра реакции:

A2 (w) = A1 (w) × A(w) .

Фазовый спектр реакции:

F2 (w) = F1 (w) + F(w) .

A2 (ω)

Φ 2 (ω)

Рис. 2.12

Графики амплитудного и фазового спектров реакции на импульсное воздействие приведены на рис. 2.12, а, б соответственно.

Определение спектра периодического входного сигнала. Для получе-

ния спектральных характеристик входного периодического сигнала используем их связь со спектральными характеристиками входного одиночного импульса:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
20.06.20253.08 Mб26 лаба графики2.docx
#
20.06.20251.67 Mб2Laboratorny_praktikum_po_TOE_2017_zerkalny.pdf
#
20.06.20251.21 Mб2task_143841.pdf
#
20.06.20257.02 Mб3ТОЭ 12 лаба.docx
#
20.06.20253.58 Mб3тоэ 3 лаба идеал.docx
#
20.06.20253.26 Mб1тоэ 6 лаба графики.docx
#
20.06.202560.7 Кб2тоэ 6 лаба теория.docx
#
20.06.2025233.76 Кб2тоэ 7 лаба готовая.docx