Нормальный закон распределения
.pdf
Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности
|
1 |
|
(x m) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
exp |
|
|
|
, |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где – m и 0 –– некоторые параметры.
График функции плотности вероятности имеет максимум в точке х m,
а точки перегиба отстоят от точки m на расстояние . При x функция асимптотически приближается к нулю (ее график изображен на рис. 1).
Рис. 1
Помимо геометрического смысла, параметры нормального закона распределения имеют и вероятностный смысл. Параметр m равен математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины, а дисперсия D(X) 2. Если X ~ N(m; 2), т.е. X имеет нормальный закон распределения с параметрами m и 2, то
где
|
|
|
|
|
|
P(a |
|
1 |
x |
|
t |
2 |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
exp |
2 |
dt |
||
|
0 |
|
|
|||
b m |
a |
|||
X b) |
|
|
|
|
|
|
|
||
– функция Лапласа.
,
Значения функции (x) можно найти |
по |
таблице (см. прил. |
в задачнике). Функция Лапласа нечетна, т.е. ( x) |
– (x). Поэтому ее |
|
таблица дана только для неотрицательных х. |
|
|
График функции Лапласа изображен на рис. 2. При значениях х 5 она |
||
практически остается постоянной. Поэтому в |
таблице даны значения |
|
функции только для 0 х 5. При значениях х 5 можно считать, что(x) 0,5.
|
Рис. 2 |
|
|
2 |
), то P( X m ) |
|
|
Если X ~ N(m; |
2 |
. |
|
|
|
|
|
Пример 1. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения N(m; 2). Известно, что P(X 1) 0,15866, а P(X 4) =
0,30854. Найти значения параметров m и 2.
Решение. Воспользуемся формулой:
|
1 m |
|
m |
|
||
P( X 1) P( X 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 m |
|
|
1 m |
0,15866 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Т.к. Φ(∞)=0,5, то
|
1 m |
m 1 |
|
0,5 0,15866 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,34134
. По таблице
функции Лапласа находим, что Φ(1) = 0,34134. Поэтому |
m 1 |
1 |
или m 1 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m |
4 m |
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично P( X 4) P(4 X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,30854. |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.к. Φ(∞)=0,5, то |
|
0,5 0,30854 |
0,19146 . По таблице функции Лапласа |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
находим, что Φ(1/2) = 0,19146. Поэтому |
|
4 m |
|
1 |
или 4 m |
|
1 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из системы уравнений
m 1 ; |
|
|
m 0,5 |
4 |
|
;
находим, что m = 3, σ = 2, т.е. σ2 = 4. Итак,
случайная величина X имеет нормальный закон распределения N(3;4).
График функции плотности вероятности этого закона распределения изображен на рис. 3.
Ответ. m 3; 2 4.
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Случайная величина X имеет нормальный закон |
|
|
|||||||||||
распределения N(m; 2). Известно, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) для нечетных вариантов P(X a)= , а P(X b) = ; |
|
|
|
|
||||||||||
б) для четных вариантов P(X a) = , а P(X b) = . |
|
|
|
|
||||||||||
|
Найдите значения параметров m и 2. Сделайте |
эскиз |
функции |
|||||||||||
плотности |
вероятности при |
найденных |
значениях параметров. Найдите |
|||||||||||
P(X 2 4). (См. пример 1 и исходные данные.) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Исходные данные к задаче 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
a |
|
b |
|
|
|
№ |
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–2 |
0,0668 |
3 |
|
0,8413 |
|
16 |
–1/2 |
0,4013 |
|
2 |
|
0,1587 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
–1 |
0,1587 |
5 |
|
0,0227 |
|
17 |
5 |
0,6915 |
|
2 |
|
0,1587 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
–1 |
0,4332 |
4 |
|
0,8413 |
|
18 |
5 |
0,6915 |
|
2 |
|
0,8413 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
0,1587 |
6 |
|
0,0227 |
|
19 |
2 |
0,0227 |
|
8 |
|
0,8413 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
–2 |
0,1587 |
1 |
|
0,6915 |
|
20 |
2 |
0,0227 |
|
8 |
|
0,1587 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
0,8413 |
–1 |
|
0,6915 |
|
21 |
3 |
0,1587 |
|
12 |
|
0,9773 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
0,1587 |
5 |
|
0,8413 |
|
22 |
3 |
0,1587 |
|
4,5 |
|
0,6915 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
0,1587 |
5 |
|
0,1587 |
|
23 |
0 |
0,3085 |
|
6 |
|
0,8413 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
–6 |
0,0227 |
3 |
0,8413 |
24 |
0 |
0,3085 |
6 |
0,6915 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
3 |
0,1587 |
6 |
0,0227 |
25 |
–2 |
0,1587 |
4 |
0,6915 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
–3 |
0,1587 |
0 |
0,6915 |
26 |
–2 |
0,1587 |
4 |
0,3085 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
–3 |
0,1587 |
0 |
0,3085 |
27 |
2 |
0,5000 |
4 |
0,6915 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
0 |
0,3446 |
5 |
0,7258 |
28 |
4 |
0,6915 |
2 |
0,5000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
–1/2 |
0,4013 |
2 |
0,8413 |
29 |
–3 |
0,1587 |
0 |
0,9773 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
–3 |
0,1587 |
0 |
0,0227 |
30 |
0 |
0,3446 |
5 |
0,2742 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Ошибка измерения X имеет нормальный закон распределения, причем систематическая ошибка равна 1 мк, а дисперсия ошибки равна 4 мк2. Какова вероятность того, что в трех независимых
измерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?
Решение. По условиям задачи X ~ N(1; 4). Вычислим сначала вероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет 2 мк. По формуле
P(| X | 2) P( 2 |
|
2 1 |
|
2 1 |
(1/ 2) |
( 3 / 2) |
|
X 2) |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
(1/ 2) (3 / 2) 0,1915 0,4332 0,6241. |
|
||||||
Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площади
на рис. 4.
Рис. 4
Каждое измерение можно рассматривать как независимый опыт. Поэтому по формуле Бернулли вероятность того, что в трех независимых
измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна P3 (3)
3 |
(0, 6241) |
3 |
(0,3753) |
0 |
1/4. |
C3 |
|
|
Ответ. 1/4.
Задача 2. Ошибка измерения X имеет нормальный закон распределения N(m; 2). Найдите вероятность того, что при измерении ошибка по модулю не превысит v. Изобразите найденную вероятность на рисунке. Найдите вероятность того, что в n независимых измерениях ошибка измерения k раз превзойдет v. (См. пример 2 и исходные данные.)
Исходные данные к задаче 2.
№ |
m |
2 |
v |
N |
k |
№ |
m |
2 |
v |
n |
k |
№ |
m |
2 |
v |
n |
k |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–1 |
4 |
2 |
4 |
1 |
11 |
2 |
2,25 |
3 |
4 |
1 |
21 |
–1 |
9 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
9 |
3 |
3 |
1 |
12 |
0,5 |
4 |
2 |
3 |
1 |
22 |
2 |
2,25 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
3 |
4 |
2 |
13 |
2 |
9 |
3 |
4 |
1 |
23 |
0,5 |
4 |
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
4 |
3 |
3 |
1 |
14 |
0,5 |
9 |
3 |
4 |
2 |
24 |
0,5 |
6,25 |
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
–1 |
16 |
5 |
4 |
1 |
15 |
–1 |
4 |
3 |
4 |
2 |
25 |
2 |
9 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
4 |
4 |
3 |
1 |
16 |
0,5 |
4 |
3 |
4 |
1 |
26 |
0,5 |
9 |
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
2,25 |
3 |
3 |
1 |
17 |
0,5 |
16 |
3 |
3 |
1 |
27 |
1,5 |
4 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
–1 |
9 |
2 |
4 |
1 |
18 |
2 |
9 |
3 |
4 |
1 |
28 |
–2 |
9 |
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 |
9 |
3 |
3 |
1 |
19 |
0,5 |
4 |
2 |
4 |
2 |
29 |
0 |
4 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
4 |
3 |
4 |
2 |
20 |
0,5 |
2,25 |
3 |
3 |
1 |
30 |
0 |
9 |
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|